O integrală interesantă

Să se calculeze
$$\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx.$$

Așa cum vă arătam alaltăieri, o integrală ce pare complicată este bine să o reducem la mai multe integrale mai micuțe și mai simple.


Dar, dintr-o fracție de genul $\frac{5+4}{2}$ putem face două fracții mai micuțe $\frac{5}{2}$ și $\frac{4}{2}$. La fel atunci, din fracția noastră $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ putem face două fracții mai micuțe $\frac{e^x}{2}$ și $\frac{e^{-x}}{2}$.

Și cum integrală dintr-o sumă este o sumă de integrale, avem că
$$\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx=\int\frac{e^x}{2}+\frac{e^x}{2}dx=\int\frac{e^x}{2}dx+\int\frac{e^x}{2}dx.$$


Mai departe ne vom ocupa de fiecare integrală simplă în parte. Integrala $\int\frac{e^x}{2}dx$ poate fi scrisă ca și $\int\frac{1}{2}\cdot e^x dx$, iar constantele de sub integrală pot fi scoase în fața integralei fără nicio grijă. Așadar, avem
$$\int\frac{e^x}{2}dx=\int\frac{1}{2}\cdot e^x dx=\frac{1}{2}\cdot\int e^x dx.$$

Acum ne-a rămas să calculăm o integrală prea simplă, adică $\int e^x dx$, care este una dintre cele mai simple integrale posibile, căci noi știm din tabele că funcția $e^x$ este singura funcție (nenulă) care rămâne nemodificată atât prin derivare, cât și prin integrare. Așadar,
$$\int e^x dx=e^x.$$

Acum suntem la jumătatea drumului pentru calculul integralei noastre. Pardon, nu suntem chiar la jumătatea drumului, ci la vreo 40% din el, căci a doua integrală din $e^{-x}$ este puțin, puțin mai complicată decât integrala din $e^x$.

Deși v-aș putea spune direct că integrală din $e^{-x}$ este
$$\color{red}{\int e^{-x}dx=-e^{-x}}$$
și să vă las apoi în pace, eu voi prefera să vă arăt cum puteți afla asta din tabele. În tabel voi mai aveți că
$$\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}$$
și vrem să vedem dacă nu cumva ne-am putea folosi de această integrală pentru a putea calcula integrala din $e^{-x}$.

Pentru aceasta, vom scrie funcția $e^{-x}$ sub o altă formă, bazându-ne pe proprietățile puterilor care ne spun că
$$a^{x\cdot y}=(a^x)^y.$$

Din această formulă noi putem scrie
$$e^{-x}=e^{-1\cdot x}=(e^{-1})^x.$$

Acum ne folosim mai departe de integrala $\int a^x dx$ de mai sus, doar că la noi $a=e^{-1}$. Avem atunci
$$\int e^{-x}dx=\int(e^{-1})^x dx=\frac{(e^{-1})^x}{\ln(e^{-1})}.$$

Cum puterea de la logaritm iese în față întotdeauna când avem nevoie și cum $\ln e=1$, rezultă că
$$\ln(e^{-1})=-1\cdot\ln e=-1\cdot 1=-1.$$

Acum aveți toate informațiile necesare pentru a înțelege de ce
$$\int e^{-x}dx=-e^{-x},$$
iar eu pot trece liniștit mai departe pentru a vă arăta cum se calculează de fapt integrala noastră. Observați că singurul lucru care apare în plus la această funcție $e^{-x}$ după ce o integrăm este acel $\color{red}{-}$.


Mai exact, acum putem scrie că
$$\large{\color{blue}{\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx=\frac{1}{2}e^x\color{red}{-}\frac{1}{2}{e^{-x}}=\frac{e^x\color{red}{-}e^{-x}}{2}}+constanta}.$$

Observați? Ce s-a schimbat la funcția noastră de sub integrală? Doar semnul! Și-atunci, vă întreb eu: ce credeți, ce s-ar mai schimba dacă am mai integra o dată? Desigur, doar semnul. Mai exact, dacă am integra de două ori funcția $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, am obține tot funcția $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$.

Această simetrie și multe alte considerente i-au determinat pe matematicieni să fie ceva mai atenți la această funcție. Și chiar i-au dat un nume special. Au numit-o cosinus hiperbolic, pentru că au văzut o asemănare teribilă între această funcție și funcția cosinus! Și, desigur, funcției $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ i-au dat celălalt nume, adică sinus hiperbolic.

Așa că, data viitoare, când găsiți ceva timp, mai jucați-vă un pic cu aceste două funcții minunate.