Să se calculeze
$$\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx.$$
Așa cum vă arătam alaltăieri, o integrală ce pare complicată este bine să o reducem la mai multe integrale mai micuțe și mai simple.
Dar, dintr-o fracție de genul $\frac{5+4}{2}$ putem face două fracții mai micuțe $\frac{5}{2}$ și $\frac{4}{2}$. La fel atunci, din fracția noastră $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ putem face două fracții mai micuțe $\frac{e^x}{2}$ și $\frac{e^{-x}}{2}$.
Și cum integrală dintr-o sumă este o sumă de integrale, avem că
$$\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx=\int\frac{e^x}{2}+\frac{e^x}{2}dx=\int\frac{e^x}{2}dx+\int\frac{e^x}{2}dx.$$
Mai departe ne vom ocupa de fiecare integrală simplă în parte. Integrala $\int\frac{e^x}{2}dx$ poate fi scrisă ca și $\int\frac{1}{2}\cdot e^x dx$, iar constantele de sub integrală pot fi scoase în fața integralei fără nicio grijă. Așadar, avem
$$\int\frac{e^x}{2}dx=\int\frac{1}{2}\cdot e^x dx=\frac{1}{2}\cdot\int e^x dx.$$
Acum ne-a rămas să calculăm o integrală prea simplă, adică $\int e^x dx$, care este una dintre cele mai simple integrale posibile, căci noi știm din tabele că funcția $e^x$ este singura funcție (nenulă) care rămâne nemodificată atât prin derivare, cât și prin integrare. Așadar,
$$\int e^x dx=e^x.$$
Acum suntem la jumătatea drumului pentru calculul integralei noastre. Pardon, nu suntem chiar la jumătatea drumului, ci la vreo 40% din el, căci a doua integrală din $e^{-x}$ este puțin, puțin mai complicată decât integrala din $e^x$.
Deși v-aș putea spune direct că integrală din $e^{-x}$ este
$$\color{red}{\int e^{-x}dx=-e^{-x}}$$
și să vă las apoi în pace, eu voi prefera să vă arăt cum puteți afla asta din tabele. În tabel voi mai aveți că
$$\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}$$
și vrem să vedem dacă nu cumva ne-am putea folosi de această integrală pentru a putea calcula integrala din $e^{-x}$.
Pentru aceasta, vom scrie funcția $e^{-x}$ sub o altă formă, bazându-ne pe proprietățile puterilor care ne spun că
$$a^{x\cdot y}=(a^x)^y.$$
Din această formulă noi putem scrie
$$e^{-x}=e^{-1\cdot x}=(e^{-1})^x.$$
Acum ne folosim mai departe de integrala $\int a^x dx$ de mai sus, doar că la noi $a=e^{-1}$. Avem atunci
$$\int e^{-x}dx=\int(e^{-1})^x dx=\frac{(e^{-1})^x}{\ln(e^{-1})}.$$
Cum puterea de la logaritm iese în față întotdeauna când avem nevoie și cum $\ln e=1$, rezultă că
$$\ln(e^{-1})=-1\cdot\ln e=-1\cdot 1=-1.$$
Acum aveți toate informațiile necesare pentru a înțelege de ce
$$\int e^{-x}dx=-e^{-x},$$
iar eu pot trece liniștit mai departe pentru a vă arăta cum se calculează de fapt integrala noastră. Observați că singurul lucru care apare în plus la această funcție $e^{-x}$ după ce o integrăm este acel $\color{red}{-}$.
Mai exact, acum putem scrie că
$$\large{\color{blue}{\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx=\frac{1}{2}e^x\color{red}{-}\frac{1}{2}{e^{-x}}=\frac{e^x\color{red}{-}e^{-x}}{2}}+constanta}.$$
Observați? Ce s-a schimbat la funcția noastră de sub integrală? Doar semnul! Și-atunci, vă întreb eu: ce credeți, ce s-ar mai schimba dacă am mai integra o dată? Desigur, doar semnul. Mai exact, dacă am integra de două ori funcția $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, am obține tot funcția $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$.
Această simetrie și multe alte considerente i-au determinat pe matematicieni să fie ceva mai atenți la această funcție. Și chiar i-au dat un nume special. Au numit-o cosinus hiperbolic, pentru că au văzut o asemănare teribilă între această funcție și funcția cosinus! Și, desigur, funcției $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ i-au dat celălalt nume, adică sinus hiperbolic.
Așa că, data viitoare, când găsiți ceva timp, mai jucați-vă un pic cu aceste două funcții minunate.
$$\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx.$$
Așa cum vă arătam alaltăieri, o integrală ce pare complicată este bine să o reducem la mai multe integrale mai micuțe și mai simple.
Dar, dintr-o fracție de genul $\frac{5+4}{2}$ putem face două fracții mai micuțe $\frac{5}{2}$ și $\frac{4}{2}$. La fel atunci, din fracția noastră $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ putem face două fracții mai micuțe $\frac{e^x}{2}$ și $\frac{e^{-x}}{2}$.
Și cum integrală dintr-o sumă este o sumă de integrale, avem că
$$\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx=\int\frac{e^x}{2}+\frac{e^x}{2}dx=\int\frac{e^x}{2}dx+\int\frac{e^x}{2}dx.$$
Mai departe ne vom ocupa de fiecare integrală simplă în parte. Integrala $\int\frac{e^x}{2}dx$ poate fi scrisă ca și $\int\frac{1}{2}\cdot e^x dx$, iar constantele de sub integrală pot fi scoase în fața integralei fără nicio grijă. Așadar, avem
$$\int\frac{e^x}{2}dx=\int\frac{1}{2}\cdot e^x dx=\frac{1}{2}\cdot\int e^x dx.$$
Acum ne-a rămas să calculăm o integrală prea simplă, adică $\int e^x dx$, care este una dintre cele mai simple integrale posibile, căci noi știm din tabele că funcția $e^x$ este singura funcție (nenulă) care rămâne nemodificată atât prin derivare, cât și prin integrare. Așadar,
$$\int e^x dx=e^x.$$
Acum suntem la jumătatea drumului pentru calculul integralei noastre. Pardon, nu suntem chiar la jumătatea drumului, ci la vreo 40% din el, căci a doua integrală din $e^{-x}$ este puțin, puțin mai complicată decât integrala din $e^x$.
Deși v-aș putea spune direct că integrală din $e^{-x}$ este
$$\color{red}{\int e^{-x}dx=-e^{-x}}$$
și să vă las apoi în pace, eu voi prefera să vă arăt cum puteți afla asta din tabele. În tabel voi mai aveți că
$$\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}$$
și vrem să vedem dacă nu cumva ne-am putea folosi de această integrală pentru a putea calcula integrala din $e^{-x}$.
Pentru aceasta, vom scrie funcția $e^{-x}$ sub o altă formă, bazându-ne pe proprietățile puterilor care ne spun că
$$a^{x\cdot y}=(a^x)^y.$$
Din această formulă noi putem scrie
$$e^{-x}=e^{-1\cdot x}=(e^{-1})^x.$$
Acum ne folosim mai departe de integrala $\int a^x dx$ de mai sus, doar că la noi $a=e^{-1}$. Avem atunci
$$\int e^{-x}dx=\int(e^{-1})^x dx=\frac{(e^{-1})^x}{\ln(e^{-1})}.$$
Cum puterea de la logaritm iese în față întotdeauna când avem nevoie și cum $\ln e=1$, rezultă că
$$\ln(e^{-1})=-1\cdot\ln e=-1\cdot 1=-1.$$
Acum aveți toate informațiile necesare pentru a înțelege de ce
$$\int e^{-x}dx=-e^{-x},$$
iar eu pot trece liniștit mai departe pentru a vă arăta cum se calculează de fapt integrala noastră. Observați că singurul lucru care apare în plus la această funcție $e^{-x}$ după ce o integrăm este acel $\color{red}{-}$.
Mai exact, acum putem scrie că
$$\large{\color{blue}{\int\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx=\frac{1}{2}e^x\color{red}{-}\frac{1}{2}{e^{-x}}=\frac{e^x\color{red}{-}e^{-x}}{2}}+constanta}.$$
Observați? Ce s-a schimbat la funcția noastră de sub integrală? Doar semnul! Și-atunci, vă întreb eu: ce credeți, ce s-ar mai schimba dacă am mai integra o dată? Desigur, doar semnul. Mai exact, dacă am integra de două ori funcția $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, am obține tot funcția $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$.
Această simetrie și multe alte considerente i-au determinat pe matematicieni să fie ceva mai atenți la această funcție. Și chiar i-au dat un nume special. Au numit-o cosinus hiperbolic, pentru că au văzut o asemănare teribilă între această funcție și funcția cosinus! Și, desigur, funcției $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ i-au dat celălalt nume, adică sinus hiperbolic.
Așa că, data viitoare, când găsiți ceva timp, mai jucați-vă un pic cu aceste două funcții minunate.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.