Transformați greul în mult

Să se calculeze
$$\int\frac{(x^2+1)^2}{x}dx.$$


Pentru mulți elevi această integrală ar părea insurmontabilă Oare de ce? Pentru că ei vor să obțină rezultatul repede și dintr-una, fără niciun efort. Și cum în tabelele cu integrale nu există o formulă special destinată pentru această integrală (precum există, de exemplu, pentru integrala $\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|$), ei vor privi îndelung integrala și se vor lăsa păgubași.

Ei bine, nu! Nu avem voie să ne lăsăm păgubași fără să fi încercat măcar ceva simplu, măcar cev ce știm. Cu siguranță știm, de exemplu, să desfacem paranteza. Păi, atunci s-o desfacem și să vedem ce iese.

Avem
$$(x^2+1)^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=x^4+2x^2+1.$$

Deci la numărătorul fracției din care trebuie să calculăm integrala avem ceva fără paranteză, căci am scăpat de paranteză. Așadar, avem
$$\int\frac{(x^2+1)^2}{x}dx=\int\frac{x^4+2x^2+1}{x}dx.$$

Am făcut un prim pas pentru a lupta cu integrala. Ce trebuie să facem mai departe? Integrala noastră a rămas încă destul de complicată. Ba chiar pare mai complicată decât era la început, din moment ce numărătorul ar mai mulți termeni.

Și totuși, integrala este din ce în ce mai accesibilă. Întotdeauna când aveți de rezolvat o problemă complicată, încercați să o transformați în mai multe probleme simple. Chiar și în viață să faceți asemenea descompuneri ale problemelor. Transformați greul în mult.

Integrala noastră poate fi transformată în mai multe integrale mai simple. Cum am putea face asta? Ia priviți voi fracția noastră. Cum ar fi dacă am transforma fracția noastră mare și urâtă în mai multe fracții mai micuțe și mai frumoase? Ar fi foarte bine, căci problema complicată s-ar rupe în mai multe probleme simple.

Am avea
$$\frac{x^4+2x^2+1}{x}=\frac{x^4}{x}+\frac{2x^2}{x}+\frac{1}{x}.$$

Și cum în primii doi termeni putem simplifica cu $x$, obținem
$$\frac{x^4}{x}+\frac{2x^2}{x}+\frac{1}{x}=x^3+2x+\frac{1}{x}.$$

Prin urmare, integrala ar deveni
$$\int\frac{x^4}{x}+\frac{2x^2}{x}+\frac{1}{x}dx=\int x^3+2x+\frac{1}{x}dx.$$

Dar, integrală dintr-o sumă este o sumă de integrale. Așadar integrala noastră ar deveni mai departe
$$\int x^3+2x+\frac{1}{x}dx=\int x^3 dx+\int 2x dx+\int\frac{1}{x}dx.$$

Acum suntem în fața a trei integrale simple, care pot fi calculate foarte ușor din tabele. Cum
$$\int x^q dx=\frac{x^{q+1}}{q+1},$$
avem că
$$\int x^3 dx=\frac{x^4}{4}$$
și
$$\int 2x dx=x^2.$$

În fine, mai avem din tabele că
$$\int \frac{1}{x}=\ln|x|.$$

Grupând toate aceste informații la un loc și adăugând constanta de rigoare, obținem răspunsul final
$$\int\frac{(x^2+1)^2}{x}dx=\frac{x^4}{4}+x^2+\ln|x|+C.$$