Primitivă crescătoare

Să se demonstreze că orice primitivă a funcției $e^x+x^4+7$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.


Elevul care întâlnește o asemenea problemă trebuie să-și amintească în primul rând ce metode are la dispoziție pentru a arăta că, în general, o funcție oarecare este crescătoare pe un anumit interval.

Așadar, ce trebuie să-și amintească elevul întâi? Trebuie să-și amintească faptul că există o legătură între monotonia unei funcții și derivata acesteia. Amintindu-și de o asemenea legătură, își va aminti și că derivata pozitivă denotă o funcție crescătoare, iar derivata negativă denotă o funcție descrescătoare.

Cu acestea în minte, mai avem puțin de lucrat. Bandita noastră de problemă nu se mulțumește să ne amintim de legătura mai sus amintită, ci vrea să ne gândim și la primitive. Cum dumnezeu să arătăm că primitiva unei funcții este crescătoare?

Păi, să tragem puțin aer în piept și să ne mai gândim o dată la ceea ce știm. Știm, deci, că dacă demonstrăm că derivata unei funcții este pozitivă atunci am demonstrat deja că acea funcție este crescătoare. Prin urmare, haideți să demonstrăm că derivata (CĂREI FUNCȚII?) este pozitivă, iar prin aceasta vom trage concluzia că acea funcție (CARE FUNCȚIE?) este crescătoare.

Nouă ni se dă funcția $e^x+x^4+7$. Oare derivata acestei funcții trebuie verificată? Nuuuuuuu! Tocmai asta este! Să nu calculați derivata acestei funcții! Pentru că nu se cere să demonstrăm că funcția $e^x+x^4+7$ este crescătoare, ci ni se cere să demonstrăm că PRIMITIVA acestei funcții este crescătoare.

Așadar, noi trebuie să calculăm DERIVATA PRIMITIVEI funcției, nu derivata funcției. Bun. Acum putem să răsuflăm ușurați. Acum știm că trebuie să calculăm derivata primitivei.

Dar oare cum aflăm care este derivata primitivei? Derivata primitivei. Repetați-vă asta în minte, căci este foarte important să înțelegem a cui derivată trebuie să o calculăm.

Așadar, ar trebui să calculăm întâi primitiva funcției $f$ date și am obține o funcție mai complicată $F$. Apoi, după ce am calculat această primitivă ar trebui să ne apucăm să o derivăm înapoi ca să obținem derivata primitivei. Ar fi o groază de muncă. Dar baiul nu este munca, ci baiul este că ar fi o muncă inutilă.

Acum, pentru a înțelege care este derivata primitivei și pentru a înțelege de ce ar fi o muncă inutilă să integrăm întâi după care să derivăm, amintiți-vă ce vă spuneam când am avut curajul să afirm că derivata și integrala se „simplifică”. E firesc: dacă întâi integrăm și apoi derivăm, ajungem înapoi de unde am plecat înainte de integrare. E ca și cum ai urca un deal (ca să integrezi), după care ai coborî dealul înapoi (ca să derivezi). Ar fi o prostioară.

Așadar, noi știm că derivata primitivei lui $f$ este tocmai $f$! Astfel, avem o cunoștință prețioasă care ne scutește de multă muncă, ne scutește de munca de a găsi întâi primitiva și a găsi apoi derivata primitivei. Iar profesorul examinator va aprecia descoperirea noastră.

În ultimă instanță, exact asta este ceea ce a urmărit examinatorul. Pe el nu-l interesează să vadă dacă știm să calculăm integrala funcției date, după care știm să calculăm derivata ei. El dorește să ne dăm seama din prima că derivata primitivei  lui $f$ este tocmai funcția $f$.

Acum am făcut al doilea pas decisiv pentru rezolvarea problemei. Nu ne mai trebuie mare brânză. Știm cum se leagă monotonia de derivată și știm că derivata primitivei este funcția însăși.

Deci, trebuie să arătăm că funcția însăși este pozitivă. Iar asta ar însemna că primitiva acestei funcții este crescătoare, așa cum ni se cere să demonstrăm.

Ok. Să vedem atunci dacă funcția $e^x+x^4+7$ este pozitivă. Luăm pe rând componentele ei. Partea cu $e^x$ este mereu pozitivă, căci orice valoare i-am da lui $x$, o putere este mereu pozitivă (în mulțimea numerelor reale, căci în cea a numerelor complexe este posibilă și puterea negativă, de exemplu, $e^{i\pi}=-1$).

Apoi, $x^4$ este și ea pozitivă în mulțimea numerelor reale, căci orice pătrat este pozitiv. Iar $7$ este indiscutabil pozitiv. Și cum o sumă de funcții pozitive este tot o funcție pozitivă, obținem că întreaga funcție $e^x+x^4+7$ dată spre verificare este (strict) pozitivă. Drept consecință, orice primitivă a ei este (strict) crescătoare, așa cum trebuia demonstrat.