Ecuația redusă a dreptei

Appletul pe care vi-l prezint astăzi aduce lumină în legătură cu ceea ce se întâmplă cu o dreaptă în plan atunci când modificăm unul dintre punctele care definesc dreapta.

Modificați-l cu mausul pe $a$ sau pe $b$ și veți vedea cum se modifică parametrii dreptei. $a$ este abscisa punctului $A(a,2)$, $b$ este ordonata punctului $B(2,b)$, $d$ este ecuația redusă a dreptei, $\alpha$ este unghiul dintre dreaptă și axa OX dat în radiani, iar $\beta$ este același unghi dat în grade.

Panta dreptei este tocmai numărul din fața lui $x$ care apare în ecuația redusă a dreptei și ne arată cât de înclinată este dreapta. Chiar dacă cele două nu sunt unul și același lucru, există totuși o legătură directă între unghiul de înclinare $\alpha$ și pantă, legătură dată de formula $$panta=\tan\alpha.$$

Observați că dacă panta se anulează (caz în care dreapta devine paralelă cu axa $OX$), atunci ecuația redusă a dreptei este de forma $y=număr$, iar dacă panta devine infinit de mare (dreapta devine perpendiculară pe $OX$), atunci ecuația dreptei este de forma $x=număr$.

Mai observați că dacă panta dreptei este pozitivă, atunci dreapta „urcă”, pe când dacă panta dreptei este negativă, atunci dreapta „coboară”.

Jucați-vă cu funcția de gradul al doilea (sau de gradul întâi)

Am găsit oarece timp și am creat un applet în aplicația fascinantă oferită de Geogebra, care vă prezintă evoluția graficului funcției de gradul al doilea (sau chiar al funcției de gradul întâi, pe care o obțineți dacă îl anulați pe $a$).

Aveți posibilitatea să mutați cu mausul (sau cu degețelul, pe telefon sau tabletă) valorile fiecăruia dintre cei trei parametri, $a$, $b$ și $c$, ca să vedeți ce se întâmplă cu graficul atunci când modificați unul dintre parametri. De asemenea, aveți posibilitatea să declanșați animația produsă de un anumit parametru.

Sper că v-am făcut o  surpriză plăcută!

Cât este 8-7 sau despre complexitatea creierașului de elev

Desigur, un școlar din clasele primare va da un răspuns aproape instantaneu dacă îi vom cere să ne spună care este rezultatul scăderii din titlu.

Însă se poate întâmpla ca un elev din clasele mai mari să stea mai mult pe gânduri.

În clasele primare, școlăreii încă n-au apucat să învețe despre numerele întregi negative, așa că pentru ei un asemenea calcul este floare la ureche. Însă nu la fel stau lucrurile cu un elev din clase mai mari.

Elevul dintr-o clasă gimnazială sau chiar și un licean va fi mai tulburat puțin de o asemenea întrebare, căci bagajul său de cunoștințe este mai bogat. S-ar putea ca el să creadă că problema este dificilă și va aplica regula complicată (dar firească) de operare a numerelor întregi, aceea cu "dacă două numere întregi au semne diferite, atunci rezultatul adunării lor va avea semnul celui mai mare dintre ele (în valoare absolută) și valoarea dată de diferența dintre cel mai mare și cel mai mic". Vă dați seama, o groază de muncă pentru un creier foarte concentrat și adâncit în rezolvarea problemei.

Așadar, este o crimă să criticăm un elev că stă pe gânduri la întrebarea din titlu! Este o gravă eroare pedagogică deoarece descurajează un suflet inocent în formare. Oamenii sunt foarte complecși și merită să avem răbdare cu ei, merită să nu tragem concluzii privind capacitatea lor din asemenea ezitări vremelnice. 

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2c

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $(2n+3) I_{n+1} =2(n+1) I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Elevii care se consideră slabi nu mai ajung la acest subiect, renunțând și ieșind din sala de examen fără să mai încerce rezolvarea. În schimb, elevul căruia profesorul i-a sugerat mereu că mintea lui este sclipitoare nu se va gândi să abandoneze, ci dimpotrivă, chiar dacă e obosit după atâta muncă, el va încerca să rezolve și această problemă. 

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2b

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Demonstrați că $I_{n+1} \leq I_n$, pentru orice număr natural nenul $n$. 


Ca să demonstrăm o asemenea inegalitate de integrale ne folosim de monotonia integralei. Într-un articol precedent recent spuneam ceva important despre monotonie, spuneam că funcțiile crescătoare nu modifică semnul inegalității, pe când cele descrescătoare îl modifică.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 2a

Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră numărul $I_n=\int_0^1 (1-x^2)^n dx$

Arătați că $I_1=\frac 2 3$.

Ce înseamnă $I_1$? Înseamnă tocmai $I_n$ în care punem în locul lui $n$ numărul $1$. Așadar, $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx.$$

Deci, avem de calculat integrala drăguță $$I_1=\int_0^1 (1-x^2)^1 dx=\int_0^1 1-x^2 dx. $$

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1c

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Demonstrați că $f(2\sqrt 3 )<f(3\sqrt 2)$.


Dacă v-aș fi cerut să comparați numerele $2\sqrt 3 $ și $3\sqrt 2 $, ați fi găsit că $2\sqrt 3 <3\sqrt 2$, căci ați fi introdus sub radical (prin ridicare la pătrat) numerele din fața radicalului.

Acum amintiți-vă regula aia minunată: funcțiile crescătoare nu modifică semnul unei inegalități. În schimb, funcțiile descrescătoare modifică (îl inversează) semnul inegalităților asupra cărora sunt aplicate. Amănunte despre această proprietate puteți găsi în articolul în care descriam legătura dintre monotonie și derivată.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1b

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Calculați $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {f^\prime(x)} { f(x)}}. $$


Pe $f ^\prime (x) $ am găsit-o deja la subpunctul precedent, așa că limita care se cere este de fapt $$\lim_{x\to+\infty}{\frac {e^x-x-1} {e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1}}. $$

Prima metodă (riguroasă și rapidă): 

Cum calculăm această limită, cât mai rapid? Vă povesteam cândva cum se poate calcula rapid limita unei fracții de polinoame atunci când $x$ tinde la infinit. La ceea ce am discutat acolo voi mai adăuga aici o observație importantă: funcția $e^x$ poate fi considerată ca fiind un polinom de gradul infinit.

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1a

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Arătați că $f^\prime(x) =e^x-x-1$. 

De obicei, problemele de la subpunctul a sunt mai ușoare. Și aceasta este ușoară. Avem de calculat derivata unei funcții destul de simple, o funcție care conține trei termeni.

Derivata unei sume (sau, bineînțeles, diferențe) de trei termeni se reduce la o sumă de trei derivate. Mai exact, $$\color{blue} {(f+g+h)^\prime=f'+g'+h'}. $$

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2c

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Demonstrați că polinomul $f$ are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.

Ei? Asta da, asta deja este o problemă ce dă oarece bătăi de cap. Cum dumnezeu să demonstrăm că polinomul dat are cel mult o rădăcină întreagă, că în liceu nu se învață nimic asemănător, nicio regulă care să ne ducă pe o cale regală către o asemenea demonstrație? Atunci ce trebuie să facă elevul?

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2b

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1^3 +x_2^3+x_3^3=2016-4a$, unde $x_1$, $x_2 $ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Ce sunt rădăcinile unui polinom? Sunt acele numere care anulează funcția polinomială asociată polinomului dat. Așadar, dacă înlocuim pe $x$ cu o rădăcină (să zicem, cu $x_1$), obţinem rezultatul zero. Adică, $$f(x_1) =0.$$

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2a

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Arătați că $f(0)=a$.

Vai, dar ce grea este problema asta! Vedeți câtă grijă are examinatorul? Are grijă să ne mai și odihnim între timp. Problema asta este pentru odihnă și pentru recuperarea timpului.

Oricărui polinom i se asociază o funcție polinomială. Polinomului nostru i se asociază funcția $f(x) =x^3 - 5x+a$. Sper că ați observat deosebirea dintre polinom și funcția polinomială, deosebirea dintre majuscula $X$ și minuscula $x$. Iată că în matematică trebuie să fim atenți chiar și la asemenea chestii.

Așadar, pentru a calcula $f(0)$, va trebui ca în funcția polinomială atașată polinomului nostru să-l înlocuim pe $x$ cu $0$. Obținem, deci, $$\color {red} {f(0)} =0^3 - 5\cdot 0+a=0-0+a=\color{red} {a}, $$ ceea ce trebuia demonstrat. 

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1c

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Știind că $A(n)=A(1)\cdot A (2)\cdot A (3)\cdot\dots\cdot A (2016) $, demonstrați că $n$ este număr natural divizibil cu $2017$.

Elevul concentrat și eliberat deja de emoția începutului de examen, se va gândi că ar trebui să fie o legătură între numărul $2016$ și $2017$. Apoi, gândind că aceste numere sunt alese la întâmplare, în funcție de anul curent, va conștientiza că trebuie să caute o metodă generală pentru a găsi soluția, o metodă independentă de aceste numere.

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1b

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Determinați numerele reale $x$, știind că $A(x)\cdot A(2x)=A(x^2+2)$.



Când trebuie să găsim necunoscute înseamnă că trebuie să ajungem cumva la o ecuație (de gradul întâi sau al doilea) care conține acele necunoscute. Altfel spus, noi vrem să scăpăm de litera $A$. Mai neriguros spus, vrem să "simplificăm" cu litera $A$.


Pentru a scăpa de litera $A$ va trebui să facem înmulțirea din partea stângă a egalității. Avem de făcut înmulțirea:$$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{ll} 1&2x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{2x}\\ \end{array} \right). $$

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1a

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Arătați că $\det(A(10))=1024$.

Dacă ați citit cu atenție articolul în care vă arătam cum un determinant de ordinul trei se poate scrie ca trei determinanți de ordinul doi, atunci problema este ca și rezolvată, căci acolo veți afla că putem dezvolta determinantul după prima coloană și obținem: $$\det (A(10))=\left|\begin{array}{ll} 1&10&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{10}\\ \end{array} \right|=\left|\begin{array}{ll} 1&0\\ 0&2^{10}\\ \end{array} \right|=2^{10}=\color{red}{1024}.$$

Dar dacă n-ați apucat încă să citiţi cu atenție articolul spre care v-am îndrumat, din cine știe ce motive omenești și firești,  atunci poate veți găsi ceva chef să citiți cu atenție articolul în care v-am descris regula lui Sarrus. 

Mult succes! 

Mate-info 2016, subiectul I, problema 6

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ în care $A=\frac{3\pi} {4} $ și $BC=\sqrt 2$.

La ce vă gândiți automat în momentul în care auziți de "raza cercului circumscris"?  Nu știu la ce vă gândiți voi, dar eu mă gândesc întâi la teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor este un șir de egalități care conțin sinusurile (nu pe cele nazale, ci pe cele unghiulare  😊 ).

Ea se poate scrie sub forma:  $$\color{blue} {\frac {BC} {\sin A}=\frac {AC} {\sin B}=\frac{AB} {\sin C}=2R}. $$

Mate-info 2016, subiectul I, problema 5

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(1,0)$ și $C(1,4)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $B$ și este paralelă cu mediana din $A$ a triunghiului $ABC$.

Se cere ecuația unei drepte. Și se dau niște puncte, cu coordonatele lor. Deci, suntem la geometrie analitică. Ne gândim ce știm despre ecuația dreptei în geometria analitică. Ne amintim ce este mediana. Ne gândim ce știm despre paralelism în geometria analitică. Avem cam zece minute de problemă. Ne apucăm de treabă relaxați și calmi. Facem un pic de ordine în haosul aparent. Ce avem de găsit întâi?

Mate-info 2016, subiectul I, problema 4

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii $A=\{\sqrt 1,\, \sqrt 2, \,\sqrt 3, \,\sqrt 4, \,\sqrt 5, \,\sqrt 6 \}$,  aceasta să aibă cel mult două elemente. 

Să facem, pentru început, o oarecare introducere în lumea probabilităților.

Probabilitatea este un număr. Un număr cuprins între zero și unu, inclusiv. Probabilitatea ne arată cât de des se întâmplă ceva ce ne interesează. De exemplu, dacă ne interesează cât de des apare fața pe care se află numărul doi de la un zar cu șase fețe (căci pot exista și zaruri cu patru fețe (cum ar arăta un zar cu patru fețe?) sau cu opt fețe), atunci teoria probabilităților ne spune că feței cu numărul doi îi este asociată probabilitatea $\frac{1 }{6}$, adică undeva la $0,1666$. 

Mate-info 2016, subiectul I, problema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-9}=32^x$.

Atunci când necunoscuta $x$ a unei ecuații apare la exponent, se spune despre acea ecuație că este ecuație exponențială. Deci, ecuația dată este o ecuație exponențială.

Ecuațiile exponențiale sunt mai blânde decât alte ecuații pentru că ele nu necesită condiții de existență. Altfel spus, la exponentul unui număr real putem pune orice alt număr real, căci tot număr real vom obține la rezultat, dacă baza puterii este deja fixată (baza trebuie să fie un număr real pozitiv și diferit de unitate).

Mate-info 2016, subiectul I, problema 2

Determinați numărul real $m$, știind că parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $x^2-2x+m$ este tangentă axei $Ox$.

Când vede această problemă elevul trebuie să își amintească în care caz parabola asociată funcției de gradul doi este tangentă axei $Ox$. Există un singur caz în care funcția de gradul doi poate fi tangentă axei $Ox$. Un singur caz!

A fi tangent înseamnă "a atinge". Deci, căutăm situația în care parabola atinge axa $Ox$. Iar a atinge înseamnă "a tăia într-un singur punct".

Dar ce ne facem dacă nu ne amintim din prima cazul în care parabola atinge axa? Păi, tatonăm, bâjbâim, încercăm să ne amintim cât mai multe lucruri despre funcția de gradul doi, despre parabola acesteia.

Mate-info 2016, subiectul I, problema 1

Determinați numărul real $x$ știind că numerele $7$, $3x$ și $x^2+2$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Așa cum v-am povestit într-un articol precedent în care am scris despre progresii aritmetice, când este vorba despre "termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice" înseamnă că este vorba de regulă de TREI termeni ai unei progresii aritmetice, termeni care vin frumos, ordonat, unul după celălalt. Iar atunci când este vorba despre trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, trebuie să vă amintiți automat de faptul că termenul din mijlocul celor trei este tocmai media aritmetică a vecinilor săi.

Pentru viitor

Dat fiind faptul că, din câte am înțeles eu, elevii se sfiesc să interacționeze live cu mine sau sunt mulțumiți de ceea ce scriu deja, pe viitor mă gândesc să scriu mai des și mai puțin și să încep să rezolv în stilul meu (adică, cu acel lux de amănunte nebunesc pe care îmi place mie să vi-l pun la dispoziție) toate variantele de matematică ce s-au dat vreodată la bacalaureat.

De exemplu, aș putea începe prin a rezolva ultima variantă de bacalaureat care s-a dat anul acesta. După care aș putea începe să prezint rezolvarea tuturor variantelor pe care le găsesc pe net.

Chat prin IRC cu elevii

Am găsit o modalitate superbă de a dialoga cu voi. Pe saitul oamenilor harnici de la KiwiIRC am găsit un element de chat drăguț, încorporabil în sait și l-am atașat în coloana din dreapta pe blog.

Sâmbătă, 16 iulie, de la ora 22 la ora 23 mă voi loga în acest chat și vă invit și pe voi să dialogăm despre probleme de matematică pentru începători.

Am oarece emoții, dar vă aștept cu drag întrebările. Eu mă voi loga cu numele „abel_cavasi”.



Editare ulterioară (destul de târzie...):
Cei care doresc să se conecteze de pe clienţi IRC dedicaţi (ex. mIRC, X-Chat) parametrii de conectare sunt /server irc.freenode.net 6667 şi /join #matematica_pentru_incepatori



Editare în 17 iulie 2016, ora 2007:
Din păcate, din cine știe ce motive (probabil vacanța), elevii nu s-au conectat la chat. Așa că rămâne pe altă dată.

Progresii aritmetice

Progresia aritmetică este un $\textit{șir}$ de numere. Dar nu orice șir de numere, ci unul foarte special. Și anume, un șir de numere care „merg din câtva în câtva”, prin adunare. (Cele care merg prin înmulțire se numesc „progresii $\textit{geometrice}$”.)

De exemplu, șirul de numere $3,5,7,9,\dots$ este o progresie aritmetică de numere care merg din doi în doi. Acest „doi” se numește $\textit{rația}$ progresiei aritmetice. Dacă știm rația unei progresii aritmetice, atunci știm aproape totul despre ea.

Am spus „aproape totul” pentru că există de exemplu și alte progresii aritmetice care merg din doi în doi, dar care sunt, totuși, diferite de această progresie dată ca exemplu mai sus. Un asemenea exemplu diferit de progresie aritmetică din doi în doi este $2,4,6,8,\dots$. Vedeți că și această progresie aritmetică merge din doi în doi, doar că ea $\textit{nu începe}$ la fel ca progresia precedentă.

Prima sesiune de probleme

În articolele de acest gen voi prezenta rezolvarea problemelor pe care le propuneți voi înșivă prin comentariile voastre din subsolul articolelor. 

Așadar, comentați voi la acest articol, adăugând lincuri spre o problemă de bacalaureat sau de evaluare națională pe care doriți să o găsiți aici rezolvată.

Problema trebuie să fie bine formulată, ca să fie pe înțelesul meu (considerați că nu sunt atât de deștept încât să vă pot citi gândurile, deși nu este exclus asta întotdeauna :)  ). 

Felicitări pentru diagramă!

Vreau să-l felicit cu această ocazie pe autorul diagramei buclucașe care a dus la scandalul recent în legătură cu problema 6.

Dacă numărul elevilor ar fi fost pe orizontală, ar fi însemnat că în acea clasă sunt în total 3+4+5+6+7+8+9+10 elevi. Unde ați văzut voi clase atât de mari? În schimb, dacă numărul elevilor este pe verticală, atunci clasa are 1+2+3+6+7+5+3+3 elevi; mult mai plauzibil.

De asemenea, ar fi însemnat că 3 elevi au luat nota 1 și nici un elev n-a luat notă mai mare de 7. Absurd și asta.

Sau încă, și mai absurd: dacă numărul elevilor ar fi fost pe orizontală, atunci cum s-ar fi putut stabili câți elevi au luat nota 3? Nicicum.

În fine, dacă notele ar fi fost pe verticală, ar fi însemnat că există și nota zero, ceea ce contravine regulamentelor (pe care elevii ar trebui să le cunoască).

Iată, deci, patru modalități prin care ar fi putut raționa fără dubii un elev care ar fi vrut să dea un răspuns corect.

Combinări de n luate câte k

Definiția

Am să vă povestesc azi despre combinări. Combinările sunt niște numere, numere naturale (adică, fără minus și fără virgulă). Ele ne arată câte submulțimi putem forma cu niște elemente.

De exemplu, dacă cineva o să vă întrebe câte submulțimi de câte două elemente se pot forma cu elemente furate dintr-o mulțime care are patru elemente, atunci voi le veți putea răspunde că numărul căutat este „combinări de patru luate câte doi” și veți scrie . El este egal cu șase. Și vom vedea mai jos de ce.

Numărare

Dar oare cât o fi acest număr? Cât este combinări de patru luate câte doi? Păi, haideți să numărăm mulțimile. Începem cu o mulțime care are patru elemente. Fie aceasta . Să vedem câte submulțimi de câte două elemente putem forma cu elemente furate din această mulțime.

Vom avea următoarele mulțimi posibile: ,,,,și . Deci, combinări de patru luate câte doi este egal cu șase. Căci avem șase submulțimi posibile. Scriem condensat

.

Să se calculeze integrală din logaritm natural

Se cere, deci, să calculăm $$\int \ln x dx.$$ După ce vom termina integrala, o vom pune rapid în tabelul nostru, dar cu mențiunea că pentru aceste integrale ceva mai complexe nu este suficient să memorați rezultatul, ci trebuie să memorați și metoda.

Integrala cerută este un bun exemplu de integrală ce trebuie calculată PRIN PĂRȚI. Mai exact, trebuie să folosim una dintre formulele de integrare prin părți:

• $\int f\cdot g'=f\cdot g-\int f'\cdot g$
• $\int f'\cdot g=f\cdot g-\int f\cdot g'$

Dar, vai, sub integrala noastră există o singură funcție, nu două. Atunci cum putem aplica integrarea prin părți? Nicio problemă. Facem un artificiu. Scriem că $\ln x=1\cdot \ln x$, căci orice funcție poate fi considerată ca fiind unu ori funcția respectivă. Așadar, integrala noastră devine $$\int \ln x dx=\int 1\cdot \ln x dx.$$

Radical din doi este un număr irațional

În clasele foarte mici elevii învață numerele naturale, adică numerele pozitive și fără virgulă. Numerele $0$,     $1$,     $2$,     $3$ și așa mai departe sunt numere naturale.

În clasele mici elevii învață mai apoi și numerele întregi, adică numere care pot avea și minus, dar care rămân în continuare fără virgulă. Numerele $5$,      $-5$,      $0$,      $-3$ sunt numere întregi (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere naturale).

Apoi încep să învețe și despre numerele raționale, adică numere care au și virgulă, dar o asemenea virgulă încât după virgulă trebuie să se repete ceva (un grup de cifre) mereu la fel. Numerele $-1$,     $0,7$,     $-\frac{2}{3}$,     $18^2$,     $0,1001001001001\dots$ sunt numere raționale (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere întregi).

Să se demonstreze că inegalitatea $e^x\geqslant x+1$ este adevărată pentru orice număr real $x$.

Pentru a demonstra o inegalitate de acest gen cu metode de liceu avem la dispoziție legătura dintre monotonia unei funcții și derivată. Această legătură spune că dacă derivata funcției date este pozitivă, atunci funcția însăși este crescătoare.

Deși la prima vedere nu pare să ne ajute prea mult această informație pentru a demonstra inegalitatea cerută, vom vedea totuși că tabelul cu monotonia funcției este foarte prețios în acest caz. Și sunt mari șanse ca ori de câte ori vi se cere să demonstrați o inegalitate, tabelul cu monotonia unei funcții legate de acea inegalitate să fie baza demonstrației.

După cum ați observat deja (dacă ați observat, dar nu-i musai), pentru a demonstra o inegalitate avem nevoie întâi de o funcție. De o funcție legată de acea inegalitate. Și nu-i ușor să găsim o asemenea funcție cu care putem demonstra inegalitatea. Elevul care poate găsi o asemenea funcție este demn de a fi felicitat. 

Puncte de discontinuitate

Puncte de discontinuitate

Funcțiile pot fi continue sau discontinue (într-unul sau mai multe (chiar într-o infinitate de) puncte). Putem desena funcțiile continue fără a fi nevoiți să ridicăm creionul de pe hârtie. În schimb, funcțiile discontinue ne obligă să întrerupem undeva desenul lor, ne obligă să ridicăm creionul de pe hârtie și să începem desenul din altă parte, mai sus sau ceva mai jos de unde l-am lăsat.

Bineînțeles, desenul unei funcții este graficul ei, adică mulțimea punctelor din plan (căci discutăm despre funcțiile (de o singură variabilă) pe care le-ați învățat deja) care, prin intermediul funcției date, asociază punctelor de pe axa orizontală (axa absciselor) cel mult (și cel puțin, desigur) câte un punct de pe axa verticală.

Riguros vorbind, într-un punct de continuitate $x_0$ sunt satisfăcute următoarele două egalități de numere reale (deci și finite!): $$l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0), $$ unde cu $l_s(x_0)$ am notat limita la stânga a funcției în punctul $x_0$.

Iată graficul unei funcții continue oarecare:

Orice punct am alege pe axa OX (dacă funcția este definită pe toată axa OX), deasupra lui (sau dedesubt) se află cel mult un punct albastru de pe graficul funcției. 

Așadar, în timp ce funcțiile continue nu ne fac probleme cu desenul lor, funcțiile discontinue își cam fac de cap, „sărind” din loc în loc peste anumite valori de pe axa verticală a graficului. Altfel spus, într-un punct de discontinuitate găsim două sau mai multe puncte de pe axa verticală corespunzătoare punctului dat. Și cum o funcție nu mai este funcție dacă asociază unei abscise mai mult de un punct, rezultă că acolo funcția trebuie numită, oarecum impropriu, „funcție discontinuă”. Impropriu, căci acolo funcția efectiv nu mai este funcție.

Iată acum graficul unei funcții discontinue (cu punct de discontinuitate de prima speță) în punctul $x_0$:

În legătură cu aceste discontinuități, se nasc (doar) două cazuri posibile:

Calculați $i^i$.

Cum adică, să calculăm $i^i$? Ce trebuie să mai obținem din $i^i$? Nu este suficientă această formă? Doar știm că $i$ este o literă folosită pentru a-l scrie mai compact pe $\sqrt{-1}$. Atunci, se poate duce „mai departe” prin calcul expresia $i^i$, o literă la literă? Dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $3125^{625}$, ce rezultat ar fi trebuit să prezentăm? Oare ni s-ar fi cerut să arătăm numărul acela lung, lung de tot dat prin $191101259794547752\dots 1680908203125$? Sau dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $\sqrt{e}^{\ln 2}$, ce ni s-ar fi cerut de fapt, ni s-ar fi cerut numărul acela urât, $1,414213562373095\dots$?

Iată o mulțime de probleme pe care le putem pune în legătură cu ideea de a calcula ceva. Desigur, pentru un elev cu ceva intuiție matematică, a calcula va însemna a prezenta o ALTĂ formă a numărului dat, o formă ceva mai relevantă, mai compactă, mai condensată, mai elegantă, o formă la care se referă examinatorul cel cu ochi de vultur.

Derivata unei funcții este viteza ei

Așa cum vă spune și titlul, derivata unei funcții este viteza acestei funcții, adică, este viteza cu care se ridică graficul funcției, în timp ce el se deplasează și spre dreapta. Dacă graficul funcției coboară atunci când se deplasează spre dreapta, atunci derivata funcției este negativă, căci coborârea este de fapt ridicare negativă.

Dacă, graficul unei funcții se ridică mai mult decât graficul altei funcții (desenate în același sistem de referință XOY), atunci derivata primei funcții este mai mare decât derivata celei de-a doua funcții.

În figura de mai jos dreapta roșie este graficul funcției $f(x)=3x-1$, iar dreapta albastră este graficul funcției $g(x)=2x-1$.

Observați că dreapta roșie urcă mai repede decât dreapta albastră. Acest lucru se datorează faptului că derivata funcției $f(x)$ este mai mare decât derivata funcției $g(x)$. Derivata lui $3x-1$ este $3$, iar derivata lui $2x-1$ este $2$.


Tot astfel, parabola roșie coboară și urcă mai rapid decât parabola albastră, deoarece derivata funcției $f(x)=3x^2-1$ (în modul, deci, dacă facem abstracție de semn) este mai mare decât derivata funcției $g(x)=2x^2-1$.

Derivata lui $3x^2-1$ este $6x$, pe când derivata funcției $2x^2-1$ este $4x$.

Mai observați că viteza dreptelor de mai sus nu se schimbă nicăieri, indiferent în care loc măsurăm această viteză. În schimb, viteza unei parabole (a oricăreia dintre ele) depinde de locul (de $x$-ul) în care vrem să o determinăm. Astfel, în partea negativă a $x$-ilor, derivata parabolei este și ea negativă, iar parabola coboară, apoi urmează o porțiune în care parabola își încetinește mult coborârea, această coborâre anulându-se chiar când $x=0$, după care urmează urcarea nestăvilită cu o viteză din ce în ce mai mare. 

Putem spune că, spre deosebire de drepte, parabolele au și o „accelerație” nenulă, nu doar o „viteză”.

Aveți, așadar, o interpretare cinematică a derivatei, identică cu cea pe care s-a bazat Newton când a creat un aparat matematic cu derivate pe care să-l poată folosi în Fizică.

Teorema lui Pitagora generalizată se mai numește și „teorema cosinusurilor”

Teorema simplă a lui Pitagora este valabilă numai într-un triunghi special, triunghi care are un unghi drept, de 90 de grade. Într-un asemenea triunghi special, numit și „triunghi dreptunghic”, laturile acestuia au fiecare câte un nume special: cea mai mică latură se numește „cateta mică”, cea mai mare latură se numește „ipotenuză”, iar cealaltă latură rămasă se numește „cateta mare”.

Catetele (albastre) sunt laturile care formează unghiul drept. Altfel spus, unghiul drept se află între catete. Teorema lui Pitagora ne spune, în acest caz, că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. De exemplu, dacă lungimea catetei mici este 3, iar lungimea catetei mari este 4, atunci lungimea ipotenuzei este 5, pentru că $3^2+4^2=5^2$.
Cu notațiile din figura de mai sus, teorema lui Pitagora devine: $$a^2=b^2+c^2.$$

Dar matematicienii nu s-au mulțumit doar cu o relație între laturile unui triunghi dreptunghic, ci ei au căutat o relație între laturile oricărui triunghi, oricât de urât ar fi el. Mai exact, ei au căutat o formulă care să le dea a treia latură a triunghiului oarecare atunci când deja se cunosc celelalte două laturi, chiar dacă unghiul dintre cele două laturi nu este un unghi de 90 de grade.

Calculați derivata funcției $f(x)=\frac{1}{x}$.

Această derivată apare extraordinar de des în calcule, așa că merită să-i acordăm o atenție separată. Și chiar o voi pune în tabelul comun al derivatelor și integralelor, alături de integrala corespunzătoare, după ce termin de scris acest articol. 

Atenție! Din start trebuie să vă spun că $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$ nu este $\ln x$, așa cum mulți elevi se grăbesc să creadă. Doar integrala acestei fracții este logaritmul, nu și derivata!

Așadar, cât este $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$?

Avem două metode la îndemână pentru a calcula această derivată. Prima metodă pe care v-o prezint este abordată des de către elevii care știu cum se derivează o fracție. Mai exact, elevii care știu cum se derivează o fracție știu de fapt formula foarte importantă scrisă astfel: $$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

Aplicația PhotoMath

De curând, un elev isteț mi-a făcut cunoștință cu o aplicație foarte utilă, numită PhotoMath. Aceasta vă pune la dispoziție un rezultat pe care îl furnizează o expresie matematică. De exemplu, dacă scanați ecuația 

$$x^2-5x+4=0$$

aplicația vă pune la dispoziție soluțiile acestei ecuații. Deocamdată, aplicația nu recunoaște scrisul de mână, așa că va trebui să scrieți ecuațiile cu un editor de ecuații.

Succes!

În care cadran se află unghiul de 3145 de grade?

Dacă, printr-o minune dumnezeiască, veți fi întrebat vreodată pe stradă în ce cadran se află unghiul de 3145 grade, va trebui să stabiliți două lucruri:

1. Care unghi mai mic de 360 de grade îi corespunde unghiului de 3145 de grade.
2. În ce cadran se află acel unghi corespunzător.

Să vedem, deci, care este povestea cu cadranele. V-am mai povestit cândva despre cadrane în articolul privind reducerea la primul cadran.

Cadranul este un sfert din cercul trigonometric. Și cum există patru sferturi, există și patru cadrane. Ele sunt numerotate în sens trigonometric (opus sensului de mers al acelor de ceasornic), așa cum se vede în figura de mai jos:

Ne amintim mai departe că un cerc complet are 360 de grade. Înseamnă că un cadran conține un sfert din 360, adică 90 de grade. Aceasta înseamnă că:

1. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 0 grade și 90 de grade se află în cadranul I;
2. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 90 de grade și 180 de grade se află în cadranul II;
3. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 180 de grade și 270 de grade se află în cadranul III;
4. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 270 de grade și 360 de grade se află în cadranul IV.

Bun. Dar ce ne facem cu unghiuri mai mari de 360 de grade, așa cum este al nostru (3145)? Păi, bineînțeles, după 360 de grade cadranele încep să se repete, iar unghiurile mai mari de 360 de grade se află în același cadran ca și unghiurile corespunzătoare, mai mici de 360 de grade.

Altfel spus, pentru unghiuri mari este suficient să scădem un multiplu de 360 de grade ca să ajungem la unghiul corespunzător ce ne va furniza cadranul căutat. Iar dacă unghiurile sunt foarte mari și ne-ar lua prea mult timp să tot scădem 360 și iar 360, atunci facem pur și simplu împărțirea acelui număr mare la 360, iar restul rămas este tocmai unghiul căutat.

Zis și făcut. Unghiul nostru de 3145 este prea mare ca să tot scădem din el de câteva ori 360, așa că vom face împărțirea lui 3145 la 360 și vom obține restul ca fiind 265. Înseamnă, deci, că unghiul de 3145 de grade se va afla în același cadran ca și unghiul de 265 de grade.

Apoi, unghiul de 265 de grade se află în cadranul III, din moment ce se află între 180 și 270. Așadar, răspunsul final pe care îl veți da este că unghiul de 3145 de grade se află și el tot în cadranul III.

Elementul neutru al legii $x\circ y=x+y+ceva$ este $-ceva$

Dacă primiți o lege de forma $$x\circ y=x+y+ceva,$$ atunci elementul neutru al acelei legi este $$e=-ceva.$$

De exemplu, dacă $$x\circ y=x+y+8,$$ atunci elementul neutru al acestei legi este $$e=-8.$$

Bineînțeles, dacă primiți legea $$x\circ y=x+y-3,$$ atunci elementul ei neutru va fi $$e=3.$$ Așadar, semnul elementului neutru este opus semnului pentru termenul liber.

Deci, dintr-o privire puteți ști care este elementul neutru al unei asemenea legi simple. Astfel de legi puteți primi destul de des la teme sau chiar la bac.

O șmecherie cu elementul neutru

Probabil ați întâlnit deja probleme în care vi se cere să găsiți elementul neutru al unei legi de compoziție. Elementul neutru al unei legi de compoziție este acel ceva care nu modifică valoarea termenului cu care este compus.

De exemplu, elementul neutru al adunării este $0$ pentru că zero nu-l modifică pe $5$ sau pe $8$ atunci când acestea se adună cu zero. Mai exact, zero este element neutru al adunării pentru că $5+0=5$ sau $8+0=8$.

De asemenea, elementul neutru al înmulțirii este $1$ pentru că $5\cdot 1=5$ sau $17\cdot 1=17$.

Dacă știți integrala cu $x$, atunci știți și integrala cu $u$.

Să presupunem că știți o integrală oarecare cu $x$, de exemplu, știți că $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}.$$ Această integrală este valabilă, orice literă am folosi în locul lui $x$. Așadar, dacă schimbăm aici doar litera $x$ cu litera $u$, n-ar trebui să se schimbe adevărul egalității. Așadar, avem și adevărul $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}.$$

Problema este că în noua integrală cu $u$ s-a schimbat și $dx$-ul în $du$, ceea ce face ca schimbarea noastră de literă să devină oarecum inutilă. Nouă ne-ar plăcea să facem o integrală cu $u$, dar în care să ne rămână $dx$-ul, pentru că nouă ni se cer integrale cu $dx$, nu cu $du$.

Rezolvarea problemei este simplă. Ne folosim de egalitatea remarcabilă prin care putem trece de la $du$ la $dx$ foarte ușor: $$\large{\color{red}{du=u'\cdot dx}}.$$ Această egalitate ne spune că integrala cu $du$ devine integrală cu $dx$, doar că mai trebuie să înmulțim cu $u'$.

Un alt exemplu

În articolul precedent v-am dat o metodă de calcul al unei integrale din tabel, cunoscând o derivată din tabel. Să mai luăm acum un exemplu. Să presupunem că știți din tabelul cu derivate faptul că $$\large{\color{green}{\left(a^x\right)'=a^x\ln a}}.$$

Conform primei reguli din celălalt articol, aplicăm integrala acestei egalități și obținem $$\int\left(a^x\right)'=\int a^x\ln a.$$ Apoi, conform celei de-a doua reguli, integrala și derivata dispar și rămâne $$a^x=\int a^x\ln a.$$

Mai departe urmează niște calcule banale în care ținem seama de faptul că $\ln a$ este o constantă pe care o putem scoate în fața integralei și obținem $$a^x=\ln a\int a^x.$$ Apoi aruncăm constanta $\ln a$ în partea din stânga egalității, caz în care ea ajunge la numitor, deci obținem $$\frac{a^x}{\ln a}=\int a^x.$$

Apoi rotim egalitatea, căci din $a=b$ putem deduce și $b=a$, deci avem în sfârșit $$\large{\color{red}{\int a^x=\frac{a^x}{\ln a}}}.$$

Ce ziceți, v-am convins acum că nu trebuie să memorați tot ceea ce întâlniți?

Cum? E prea stufos tabelul cu integrale? Aveți prea multe formule de reținut? Hmmm... Haideți să mai tăiem din ele!

Mi se pare mie, ori chiar credeți că tabelul cu integrale e prea stufos? Păi, de ce, dragilor? Păi, dacă știți derivate, atunci știți și integrale cu duiumul. Haideți să vedem câteva exemple. Presupunem că știți bine tabelul cu derivate și vom încerca să deducem din acest tabel câteva integrale din tabelul cu integrale. Să vedem ce iese.

Vom aplica două reguli de bază:

1. Dacă $f=g$, atunci și $\int f=\int g$, abstracție făcând de constanta $C$. Bineînțeles, voi la examene veți pune și $dx$-ul, dar eu nu-l pun ca să nu încarc inutil expunerea.
2. Dacă integrala unei funcții se ciocnește cu derivata ei, cele două dispar și lasă în urmă funcția. Simbolic, putem scrie acest lucru astfel: $$\int f^\prime=f.$$ Așadar, integrala anihilează câte o derivată. Tot aici mai putem spune că avem atunci și $$\int f''=f'$$ sau $$\int f'''=f''.$$

Mergem înainte cu aceste reguli faine. Și veți vedea că matematica nu este chiar atât de anostă precum pare.

Mediana este una, mediatoarea este alta.

Mediana și mediatoarea sunt ușor, tare ușor de confundat. Prin ce diferă ele, oare?

Avem așa: mediana unește vârful cu mijlocul figurii opuse vârfului (care poate fi un segment, un triunghi etc.), pe când mediatoarea nu unește nimic, ci doar trece prin mijloc, dar nu trece oricum, ci perpendicular.

Iată o mediană ce coboară din vârful de sus al unui triunghi (și ajunge pe mijlocul laturii opuse):

Iar aici vedeți o mediatoare, deci o perpendiculară ridicată pe mijlocul bazei (mijlocul laturii pe care stă triunghiul):

Se vede clar că ele nu sunt unul și același lucru.

Dar există un caz interesant în care mediana și mediatoarea sunt unul și același lucru: cazul triunghiului isoscel. Altfel spus, dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana bazei coincide cu mediatoarea bazei. Așadar, în acest caz, mediana este nu doar mediană, ci este chiar și înălțime și taie triunghiul mare în două triunghiuri dreptunghice congruente.

Și reciproc este valabil: adică, dacă mediana coincide cu mediatoarea, atunci triunghiul este isoscel, adică cele două laturi diferite de bază sunt congruente, iar unghiurile de la bază sunt congruente. Habar n-aveți cât de utilă vă poate fi în probleme această reciprocă! Sau poate aveți...

De fapt, cele trei lucruri (mediana, mediatoarea și triunghiul isoscel) coexistă simultan. Mai precis, dacă două lucruri din cele trei sunt valabile, atunci este valabil și al treilea:

1. Dacă un segment AD este mediană și mediatoare în același timp pe un segment BC, atunci triunghiul ABC este isoscel cu baza BC dată de segmentul respectiv.
2. Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana bazei este totodată și mediatoare.
3. Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediatoarea bazei este totodată și mediană.

Inecuația de gradul doi

Inecuațiile sunt aproape la fel ca și ecuațiile, doar că în locul semnului „egal” apare semnul „inegal”. Semnul „inegal” este unul dintre semnele $\geqslant$, $\leqslant$, $<$ sau $>$.

Desigur, această deosebire are ceva consecințe. În timp ce ecuațiile au de regulă un număr finit de soluții, inecuațiile au de regulă un număr infinit. Aceasta este regula, dar există și excepții. De exemplu, ecuația $x=x$ are o infinitate de soluții reale, iar inecuația $x<2$ are un număr finit de soluții naturale. Dar, de regulă, mulțimea soluțiilor unei ecuații poate fi scrisă ca o mulțime finită (cu acoladă), pe când mulțimea soluțiilor unei inecuații se prezintă sub forma unui interval.

Cosinusul și sinusul jumătății

Vă spuneam pe undeva că teorema fundamentală a trigonometriei (deci, teorema pe care ar trebui s-o știe întru început un elev care învață trigonometrie) ne spune că $$\large{\color{red}{\cos^2x+\sin^2x=1}}.$$ De asemenea, tot pe undeva pe blog am arătat că $$\large{\color{red}{\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)}}.$$

Observați ce seamănă cele două formule? Un simplu semn le schimbă într-atât valoarea! Așadar, atenție la semnele pe care le folosiți. Eu vă recomand să respectați semnul minus cam de cinci ori mai mult decât îl respectați pe semnul plus.

Mergem treptat (era să zic „pas cu pas”) pornind de la aceste două minuni și vom obține niște formule foarte importante privind jumătatea unghiului. Suma celor două minuni ne va da cosinusul jumătății, iar diferența celor două ne va da sinusul.

Într-un determinant putem să dăm factor comun

În determinantul $$\Delta=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&20&60\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=156$$ putem observa că linia a doua conține multiplii de $4$, căci $4=4\cdot 1$, $20=4\cdot 5$, iar $60=4\cdot 15$. 

În cazul acesta, putem da factor comun pe $4$ și vom obține o nouă formă a determinantului, mai simplă, în care a doua linie are numere mai mici, și anume $$\Delta=4\cdot\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 1&5&15\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=4\cdot 39=156.$$

Atenție, observați că celelalte linii rămân nemodificate!

Așadar, căutați pe viitor asemenea factori comuni într-o linie sau o coloană a unui determinant, ca să vă faceți viața mai ușoară.

Dacă schimbăm o linie cu alta, schimbăm semnul determinantului

Dacă într-un determinant schimbăm o linie cu alta, atunci se schimbă semnul determinantului. Dacă în determinantul $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ schimbăm linia doi cu linia trei, de exemplu, atunci obținem determinantul $$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 7&8&10\\4&5&6\\  \end{array} \right|=3=-\Delta_1.$$

Bineînțeles, după cum știți deja, acest lucru este valabil și pentru coloane, nu doar pentru linii.

Un determinant de ordinul trei este cât trei determinanți de ordinul doi

O problemă grea poate fi descompusă în mai multe probleme ușoare (aceasta este cheia succesului!), iar un determinant urât poate fi descompus în mai mulți determinanți drăguți. Determinantul de ordinul trei $\Delta_1$, de care tot vorbim de câteva zile încoace, poate fi descompus în trei determinanți de ordinul doi (iar în general, un determinant de ordinul $N$ poate fi descompus în $N$ determinanți de ordin $N-1$).

Astfel, determinantul $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ poate fi scris ca $$\Delta_1=1\cdot\left|\begin{array}{ll} 5&6\\ 8&10\\ \end{array} \right|-4\cdot\left|\begin{array}{ll} 2&3\\ 8&10\\ \end{array} \right|+7\cdot\left|\begin{array}{ll} 2&3\\ 5&6\\ \end{array} \right|.$$

Orice determinant poate fi scris ca o sumă de doi determinanți mai simpli

Am văzut că determinantul precedent avea valoarea $-3$. Dar acest determinant poate fi scris ca o sumă de doi determinanți mai simpli, care conțin zero-uri. Mai exact, determinantul $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ poate fi scris, de exemplu, ca o sumă dintre determinantul $$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 0&8&0\\ \end{array} \right|=48$$ și determinantul $$\Delta_3=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&0&10\\ \end{array} \right|=-51.$$

Observați că nu ne-am atins decât de linia trei, pe restul lăsându-le intacte! De asemenea, observați că adunând elementele liniei trei din determinanții $\Delta_2$ și $\Delta_3$, obținem exact elementele liniei trei din determinantul $\Delta_1$.

Un determinant nu se schimbă dacă înlocuim o linie cu suma a două linii DIFERITE

De exemplu, determinantul
$$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&10\\
\end{array} \right|$$

are aceeași valoare cu determinantul
$$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll}
1&2&3\\
4+7&5+8&6+10\\
7&8&10\\
\end{array} \right|.$$

Problema V1SIP6: Calculați $\cos 105^\circ$.

Dacă trebuie să calculăm $\cos 105^\circ$, unul dintre primele gânduri care ne-ar putea trece prin minte ar fi să reducem cumva unghiul de $105^\circ$ la primul cadran. Pentru aceasta ne-am putea folosi de metoda pe care v-am prezentat-o într-un articol mai vechi pe care l-ați apreciat foarte mult. 

În esență, spuneam acolo că dacă scădem din unghiul dat $90^\circ$, atunci sinusul se transformă în cosinus sau cosinusul se transformă în minus sinus. În cazul nostru, cosinusul de $105^\circ$ se transformă în minus sinus de $105^\circ-90^\circ=15^\circ$. Adică, $\cos 105^\circ=-\sin 15^\circ$.

ProblemaV1SIP5: În sistemul cartezian xOy se dau punctele M(1,-4) și N(-2,5). Să se determine dreapta care trece prin originea sistemului și este perpendiculară pe dreapta MN.

Dacă ni se cere o dreaptă, înseamnă că răspunsul nostru trebuie să fie ceva de genul: $ax+by+c=0$ sau ceva și mai simplu, de genul $y=mx+n$. Acest „ceva” se numește „ecuația dreptei”. Primul ceva se numește „ecuația generală a dreptei”, iar al doilea ceva se numește „ecuația redusă a dreptei”. Putem trece ușor de la o formă la alta, prin operații permise asupra unei egalități, pe care le cunoașteți, precum trecerea unui termen dintr-o parte într-alta (cu semn schimbat) sau înmulțirea (împărțirea) întregii egalități cu un număr oarecare diferit de zero.

V1S1P4: Calculați probabilitatea ca, pentru un număr $a$ din mulțimea $\{1,3,5,\dots, 21\}$, expresia $3^{2a+1}\cdot 15^{a+2}$ să fie cub perfect

Din ceea ce se învață în liceu, știm că probabilitatea este o fracție care are la numărător (deci sus) „numărul cazurilor favorabile”, iar la numitor „numărul cazurilor posibile”. Întotdeauna, numărul de jos (deci cel de la numitor) este mai mare sau cel puțin egal cu numărul de la numărător. De parcă numărul mare este mai greu și se scufundă, lăsându-l pe cel mai ușor deasupra. Astfel, probabilitatea este întotdeauna un număr mai mic decât unu sau cel mult egal cu unu, ceea ce mai înseamnă că probabilitatea este mereu un număr subunitar sau eventual echiunitar, niciodată supraunitar.

Mate pentru BAC

Piscălind pe tabletă prin Android după diverse aplicații utile, am găsit ceva care merită amintit aici pentru voi, dragi elevi: aplicația „Mate pentru BAC”. Există și pentru iOS. Instalați-o, căci nu veți regreta. 

Vreau să felicit autorii aplicației cu această ocazie și să mă înclin în fața lor cu adâncă plecăciune.

V1S1P3: Să se rezolve ecuația $\sin x-\cos x=1$

Ecuația $\sin x-\cos x=1$ din enunț este o ecuație trigonometrică. De regulă, ecuațiile trigonometrice au o infinitate de soluții, dar cele mai interesante se află în intervalul $[0, 2\pi)$. Dacă găsim soluțiile interesante (deci, soluțiile care se află pe cercul trigonometric, căci intervalul $[0, 2\pi)$ reprezintă toate cele patru cadrane la un loc, patru sferturi în care este împărțit cercul), atunci restul soluțiilor se repetă prin adunare cu $360^\circ$ (sau cu $2\pi$, dacă vorbim în radiani, nu în grade).

Așadar, ne vom concentra întâi pe găsirea soluțiilor interesante, aflate în intervalul $[0,2\pi)$. Pentru aceasta, vă invit să aruncăm întâi o privire asupra ecuației, de data aceasta cu intenția de a ghici măcar câteva soluții. Obișnuiți-vă mintea să lupte și cu astfel de încercări, să ghicească soluțiile unor probleme chiar dacă încă nu are metoda riguroasă de a le obține.

Problema V1SIP2: Cât este valoarea minimă a funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+4$?

Graficul, adică desenul, unei funcții de gradul doi este o parabolă, adică ceva de genul

Linia albastră ne spune cât este $y$ dacă alegem noi un $x$. De exemplu, în dreptul lui $x=0$ observăm că linia albastră trece prin $y=4$, iar dacă îl alegem pe $x$ să fie $1$, atunci linia albastră taie axa $OX$, ceea ce înseamnă că $y=0$ acolo. Căci $y$-ii sunt pe verticală, iar $x$-ii sunt pe orizontală.

Problema V1SIP1: Să se rezolve în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2=-9$.

Încep aici cu această primă problemă dintr-o variantă de bacalaureat pe care v-o propun în viitor. V1 înseamnă varianta 1, SI înseamnă subiectul I, iar P1 înseamnă problema 1.

Pentru a rezolva o ecuație trebuie să găsim toate numerele posibile care, puse în locul necunoscutei ce apare în ecuație, duc spre un adevăr.

Ecuația noastră este o ecuație de gradul doi. Ecuațiile de gradul doi sunt tare drăguțe, căci ele au musai două soluții și musai de același fel (aceeași natură); adică, dacă una este reală, atunci bistoș și cealaltă va fi reală, iar dacă una este complexă, atunci bistoș și cealaltă va fi complexă.

Ba, mai mult, dacă ambele soluții sunt numere complexe, atunci între aceste două numere complexe există o legătură minunată: ele sunt numere complexe conjugate (adică, ele diferă numai prin semnul părții imaginare, a părții care îl conține pe $i$). Mai exact, dacă ai reușit să găsești una dintre soluții, nu-ți mai bați capul cu cea de-a doua, căci știi că cea de-a doua este tocmai numărul complex conjugat al primului număr complex.

Tabelul trigonometric, versiunea blog

Acest articol este versiunea blog a celuilalt articol în care m-am folosit de Google Docs.

În acest articol doresc să vă fac să înțelegeți (și astfel să rețineți) odată pentru totdeauna cele mai importante valori trigonometrice din primul cadran. Primul cadran înseamnă primul sfert din cercul trigonometric (în ordine trigonometrică). Mai jos puteți vedea cadranele unui cerc trigonometric.