Derivata unei funcții este viteza ei

Așa cum vă spune și titlul, derivata unei funcții este viteza acestei funcții, adică, este viteza cu care se ridică graficul funcției, în timp ce el se deplasează și spre dreapta. Dacă graficul funcției coboară atunci când se deplasează spre dreapta, atunci derivata funcției este negativă, căci coborârea este de fapt ridicare negativă.

Dacă, graficul unei funcții se ridică mai mult decât graficul altei funcții (desenate în același sistem de referință XOY), atunci derivata primei funcții este mai mare decât derivata celei de-a doua funcții.

În figura de mai jos dreapta roșie este graficul funcției $f(x)=3x-1$, iar dreapta albastră este graficul funcției $g(x)=2x-1$.

Observați că dreapta roșie urcă mai repede decât dreapta albastră. Acest lucru se datorează faptului că derivata funcției $f(x)$ este mai mare decât derivata funcției $g(x)$. Derivata lui $3x-1$ este $3$, iar derivata lui $2x-1$ este $2$.


Tot astfel, parabola roșie coboară și urcă mai rapid decât parabola albastră, deoarece derivata funcției $f(x)=3x^2-1$ (în modul, deci, dacă facem abstracție de semn) este mai mare decât derivata funcției $g(x)=2x^2-1$.

Derivata lui $3x^2-1$ este $6x$, pe când derivata funcției $2x^2-1$ este $4x$.

Mai observați că viteza dreptelor de mai sus nu se schimbă nicăieri, indiferent în care loc măsurăm această viteză. În schimb, viteza unei parabole (a oricăreia dintre ele) depinde de locul (de $x$-ul) în care vrem să o determinăm. Astfel, în partea negativă a $x$-ilor, derivata parabolei este și ea negativă, iar parabola coboară, apoi urmează o porțiune în care parabola își încetinește mult coborârea, această coborâre anulându-se chiar când $x=0$, după care urmează urcarea nestăvilită cu o viteză din ce în ce mai mare. 

Putem spune că, spre deosebire de drepte, parabolele au și o „accelerație” nenulă, nu doar o „viteză”.

Aveți, așadar, o interpretare cinematică a derivatei, identică cu cea pe care s-a bazat Newton când a creat un aparat matematic cu derivate pe care să-l poată folosi în Fizică.

Teorema lui Pitagora generalizată se mai numește și „teorema cosinusurilor”

Teorema simplă a lui Pitagora este valabilă numai într-un triunghi special, triunghi care are un unghi drept, de 90 de grade. Într-un asemenea triunghi special, numit și „triunghi dreptunghic”, laturile acestuia au fiecare câte un nume special: cea mai mică latură se numește „cateta mică”, cea mai mare latură se numește „ipotenuză”, iar cealaltă latură rămasă se numește „cateta mare”.

Catetele (albastre) sunt laturile care formează unghiul drept. Altfel spus, unghiul drept se află între catete. Teorema lui Pitagora ne spune, în acest caz, că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. De exemplu, dacă lungimea catetei mici este 3, iar lungimea catetei mari este 4, atunci lungimea ipotenuzei este 5, pentru că $3^2+4^2=5^2$.
Cu notațiile din figura de mai sus, teorema lui Pitagora devine: $$a^2=b^2+c^2.$$

Dar matematicienii nu s-au mulțumit doar cu o relație între laturile unui triunghi dreptunghic, ci ei au căutat o relație între laturile oricărui triunghi, oricât de urât ar fi el. Mai exact, ei au căutat o formulă care să le dea a treia latură a triunghiului oarecare atunci când deja se cunosc celelalte două laturi, chiar dacă unghiul dintre cele două laturi nu este un unghi de 90 de grade.

Calculați derivata funcției $f(x)=\frac{1}{x}$.

Această derivată apare extraordinar de des în calcule, așa că merită să-i acordăm o atenție separată. Și chiar o voi pune în tabelul comun al derivatelor și integralelor, alături de integrala corespunzătoare, după ce termin de scris acest articol. 

Atenție! Din start trebuie să vă spun că $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$ nu este $\ln x$, așa cum mulți elevi se grăbesc să creadă. Doar integrala acestei fracții este logaritmul, nu și derivata!

Așadar, cât este $\left(\frac{1}{x}\right)^\prime$?

Avem două metode la îndemână pentru a calcula această derivată. Prima metodă pe care v-o prezint este abordată des de către elevii care știu cum se derivează o fracție. Mai exact, elevii care știu cum se derivează o fracție știu de fapt formula foarte importantă scrisă astfel: $$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$$

Aplicația PhotoMath

De curând, un elev isteț mi-a făcut cunoștință cu o aplicație foarte utilă, numită PhotoMath. Aceasta vă pune la dispoziție un rezultat pe care îl furnizează o expresie matematică. De exemplu, dacă scanați ecuația 

$$x^2-5x+4=0$$

aplicația vă pune la dispoziție soluțiile acestei ecuații. Deocamdată, aplicația nu recunoaște scrisul de mână, așa că va trebui să scrieți ecuațiile cu un editor de ecuații.

Succes!

În care cadran se află unghiul de 3145 de grade?

Dacă, printr-o minune dumnezeiască, veți fi întrebat vreodată pe stradă în ce cadran se află unghiul de 3145 grade, va trebui să stabiliți două lucruri:

1. Care unghi mai mic de 360 de grade îi corespunde unghiului de 3145 de grade.
2. În ce cadran se află acel unghi corespunzător.

Să vedem, deci, care este povestea cu cadranele. V-am mai povestit cândva despre cadrane în articolul privind reducerea la primul cadran.

Cadranul este un sfert din cercul trigonometric. Și cum există patru sferturi, există și patru cadrane. Ele sunt numerotate în sens trigonometric (opus sensului de mers al acelor de ceasornic), așa cum se vede în figura de mai jos:

Ne amintim mai departe că un cerc complet are 360 de grade. Înseamnă că un cadran conține un sfert din 360, adică 90 de grade. Aceasta înseamnă că:

1. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 0 grade și 90 de grade se află în cadranul I;
2. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 90 de grade și 180 de grade se află în cadranul II;
3. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 180 de grade și 270 de grade se află în cadranul III;
4. Unghiurile care au mărimea cuprinsă între 270 de grade și 360 de grade se află în cadranul IV.

Bun. Dar ce ne facem cu unghiuri mai mari de 360 de grade, așa cum este al nostru (3145)? Păi, bineînțeles, după 360 de grade cadranele încep să se repete, iar unghiurile mai mari de 360 de grade se află în același cadran ca și unghiurile corespunzătoare, mai mici de 360 de grade.

Altfel spus, pentru unghiuri mari este suficient să scădem un multiplu de 360 de grade ca să ajungem la unghiul corespunzător ce ne va furniza cadranul căutat. Iar dacă unghiurile sunt foarte mari și ne-ar lua prea mult timp să tot scădem 360 și iar 360, atunci facem pur și simplu împărțirea acelui număr mare la 360, iar restul rămas este tocmai unghiul căutat.

Zis și făcut. Unghiul nostru de 3145 este prea mare ca să tot scădem din el de câteva ori 360, așa că vom face împărțirea lui 3145 la 360 și vom obține restul ca fiind 265. Înseamnă, deci, că unghiul de 3145 de grade se va afla în același cadran ca și unghiul de 265 de grade.

Apoi, unghiul de 265 de grade se află în cadranul III, din moment ce se află între 180 și 270. Așadar, răspunsul final pe care îl veți da este că unghiul de 3145 de grade se află și el tot în cadranul III.

Elementul neutru al legii $x\circ y=x+y+ceva$ este $-ceva$

Dacă primiți o lege de forma $$x\circ y=x+y+ceva,$$ atunci elementul neutru al acelei legi este $$e=-ceva.$$

De exemplu, dacă $$x\circ y=x+y+8,$$ atunci elementul neutru al acestei legi este $$e=-8.$$

Bineînțeles, dacă primiți legea $$x\circ y=x+y-3,$$ atunci elementul ei neutru va fi $$e=3.$$ Așadar, semnul elementului neutru este opus semnului pentru termenul liber.

Deci, dintr-o privire puteți ști care este elementul neutru al unei asemenea legi simple. Astfel de legi puteți primi destul de des la teme sau chiar la bac.

O șmecherie cu elementul neutru

Probabil ați întâlnit deja probleme în care vi se cere să găsiți elementul neutru al unei legi de compoziție. Elementul neutru al unei legi de compoziție este acel ceva care nu modifică valoarea termenului cu care este compus.

De exemplu, elementul neutru al adunării este $0$ pentru că zero nu-l modifică pe $5$ sau pe $8$ atunci când acestea se adună cu zero. Mai exact, zero este element neutru al adunării pentru că $5+0=5$ sau $8+0=8$.

De asemenea, elementul neutru al înmulțirii este $1$ pentru că $5\cdot 1=5$ sau $17\cdot 1=17$.

Dacă știți integrala cu $x$, atunci știți și integrala cu $u$.

Să presupunem că știți o integrală oarecare cu $x$, de exemplu, știți că $$\int x^2 dx=\frac{x^3}{3}.$$ Această integrală este valabilă, orice literă am folosi în locul lui $x$. Așadar, dacă schimbăm aici doar litera $x$ cu litera $u$, n-ar trebui să se schimbe adevărul egalității. Așadar, avem și adevărul $$\int u^2 du=\frac{u^3}{3}.$$

Problema este că în noua integrală cu $u$ s-a schimbat și $dx$-ul în $du$, ceea ce face ca schimbarea noastră de literă să devină oarecum inutilă. Nouă ne-ar plăcea să facem o integrală cu $u$, dar în care să ne rămână $dx$-ul, pentru că nouă ni se cer integrale cu $dx$, nu cu $du$.

Rezolvarea problemei este simplă. Ne folosim de egalitatea remarcabilă prin care putem trece de la $du$ la $dx$ foarte ușor: $$\large{\color{red}{du=u'\cdot dx}}.$$ Această egalitate ne spune că integrala cu $du$ devine integrală cu $dx$, doar că mai trebuie să înmulțim cu $u'$.

Un alt exemplu

În articolul precedent v-am dat o metodă de calcul al unei integrale din tabel, cunoscând o derivată din tabel. Să mai luăm acum un exemplu. Să presupunem că știți din tabelul cu derivate faptul că $$\large{\color{green}{\left(a^x\right)'=a^x\ln a}}.$$

Conform primei reguli din celălalt articol, aplicăm integrala acestei egalități și obținem $$\int\left(a^x\right)'=\int a^x\ln a.$$ Apoi, conform celei de-a doua reguli, integrala și derivata dispar și rămâne $$a^x=\int a^x\ln a.$$

Mai departe urmează niște calcule banale în care ținem seama de faptul că $\ln a$ este o constantă pe care o putem scoate în fața integralei și obținem $$a^x=\ln a\int a^x.$$ Apoi aruncăm constanta $\ln a$ în partea din stânga egalității, caz în care ea ajunge la numitor, deci obținem $$\frac{a^x}{\ln a}=\int a^x.$$

Apoi rotim egalitatea, căci din $a=b$ putem deduce și $b=a$, deci avem în sfârșit $$\large{\color{red}{\int a^x=\frac{a^x}{\ln a}}}.$$

Ce ziceți, v-am convins acum că nu trebuie să memorați tot ceea ce întâlniți?

Cum? E prea stufos tabelul cu integrale? Aveți prea multe formule de reținut? Hmmm... Haideți să mai tăiem din ele!

Mi se pare mie, ori chiar credeți că tabelul cu integrale e prea stufos? Păi, de ce, dragilor? Păi, dacă știți derivate, atunci știți și integrale cu duiumul. Haideți să vedem câteva exemple. Presupunem că știți bine tabelul cu derivate și vom încerca să deducem din acest tabel câteva integrale din tabelul cu integrale. Să vedem ce iese.

Vom aplica două reguli de bază:

1. Dacă $f=g$, atunci și $\int f=\int g$, abstracție făcând de constanta $C$. Bineînțeles, voi la examene veți pune și $dx$-ul, dar eu nu-l pun ca să nu încarc inutil expunerea.
2. Dacă integrala unei funcții se ciocnește cu derivata ei, cele două dispar și lasă în urmă funcția. Simbolic, putem scrie acest lucru astfel: $$\int f^\prime=f.$$ Așadar, integrala anihilează câte o derivată. Tot aici mai putem spune că avem atunci și $$\int f''=f'$$ sau $$\int f'''=f''.$$

Mergem înainte cu aceste reguli faine. Și veți vedea că matematica nu este chiar atât de anostă precum pare.

Mediana este una, mediatoarea este alta.

Mediana și mediatoarea sunt ușor, tare ușor de confundat. Prin ce diferă ele, oare?

Avem așa: mediana unește vârful cu mijlocul figurii opuse vârfului (care poate fi un segment, un triunghi etc.), pe când mediatoarea nu unește nimic, ci doar trece prin mijloc, dar nu trece oricum, ci perpendicular.

Iată o mediană ce coboară din vârful de sus al unui triunghi (și ajunge pe mijlocul laturii opuse):

Iar aici vedeți o mediatoare, deci o perpendiculară ridicată pe mijlocul bazei (mijlocul laturii pe care stă triunghiul):

Se vede clar că ele nu sunt unul și același lucru.

Dar există un caz interesant în care mediana și mediatoarea sunt unul și același lucru: cazul triunghiului isoscel. Altfel spus, dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana bazei coincide cu mediatoarea bazei. Așadar, în acest caz, mediana este nu doar mediană, ci este chiar și înălțime și taie triunghiul mare în două triunghiuri dreptunghice congruente.

Și reciproc este valabil: adică, dacă mediana coincide cu mediatoarea, atunci triunghiul este isoscel, adică cele două laturi diferite de bază sunt congruente, iar unghiurile de la bază sunt congruente. Habar n-aveți cât de utilă vă poate fi în probleme această reciprocă! Sau poate aveți...

De fapt, cele trei lucruri (mediana, mediatoarea și triunghiul isoscel) coexistă simultan. Mai precis, dacă două lucruri din cele trei sunt valabile, atunci este valabil și al treilea:

1. Dacă un segment AD este mediană și mediatoare în același timp pe un segment BC, atunci triunghiul ABC este isoscel cu baza BC dată de segmentul respectiv.
2. Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediana bazei este totodată și mediatoare.
3. Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediatoarea bazei este totodată și mediană.

Inecuația de gradul doi

Inecuațiile sunt aproape la fel ca și ecuațiile, doar că în locul semnului „egal” apare semnul „inegal”. Semnul „inegal” este unul dintre semnele $\geqslant$, $\leqslant$, $<$ sau $>$.

Desigur, această deosebire are ceva consecințe. În timp ce ecuațiile au de regulă un număr finit de soluții, inecuațiile au de regulă un număr infinit. Aceasta este regula, dar există și excepții. De exemplu, ecuația $x=x$ are o infinitate de soluții reale, iar inecuația $x<2$ are un număr finit de soluții naturale. Dar, de regulă, mulțimea soluțiilor unei ecuații poate fi scrisă ca o mulțime finită (cu acoladă), pe când mulțimea soluțiilor unei inecuații se prezintă sub forma unui interval.

Cosinusul și sinusul jumătății

Vă spuneam pe undeva că teorema fundamentală a trigonometriei (deci, teorema pe care ar trebui s-o știe întru început un elev care învață trigonometrie) ne spune că $$\large{\color{red}{\cos^2x+\sin^2x=1}}.$$ De asemenea, tot pe undeva pe blog am arătat că $$\large{\color{red}{\cos^2x-\sin^2x=\cos(2x)}}.$$

Observați ce seamănă cele două formule? Un simplu semn le schimbă într-atât valoarea! Așadar, atenție la semnele pe care le folosiți. Eu vă recomand să respectați semnul minus cam de cinci ori mai mult decât îl respectați pe semnul plus.

Mergem treptat (era să zic „pas cu pas”) pornind de la aceste două minuni și vom obține niște formule foarte importante privind jumătatea unghiului. Suma celor două minuni ne va da cosinusul jumătății, iar diferența celor două ne va da sinusul.

Într-un determinant putem să dăm factor comun

În determinantul $$\Delta=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&20&60\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=156$$ putem observa că linia a doua conține multiplii de $4$, căci $4=4\cdot 1$, $20=4\cdot 5$, iar $60=4\cdot 15$. 

În cazul acesta, putem da factor comun pe $4$ și vom obține o nouă formă a determinantului, mai simplă, în care a doua linie are numere mai mici, și anume $$\Delta=4\cdot\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 1&5&15\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=4\cdot 39=156.$$

Atenție, observați că celelalte linii rămân nemodificate!

Așadar, căutați pe viitor asemenea factori comuni într-o linie sau o coloană a unui determinant, ca să vă faceți viața mai ușoară.

Dacă schimbăm o linie cu alta, schimbăm semnul determinantului

Dacă într-un determinant schimbăm o linie cu alta, atunci se schimbă semnul determinantului. Dacă în determinantul $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ schimbăm linia doi cu linia trei, de exemplu, atunci obținem determinantul $$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 7&8&10\\4&5&6\\  \end{array} \right|=3=-\Delta_1.$$

Bineînțeles, după cum știți deja, acest lucru este valabil și pentru coloane, nu doar pentru linii.

Un determinant de ordinul trei este cât trei determinanți de ordinul doi

O problemă grea poate fi descompusă în mai multe probleme ușoare (aceasta este cheia succesului!), iar un determinant urât poate fi descompus în mai mulți determinanți drăguți. Determinantul de ordinul trei $\Delta_1$, de care tot vorbim de câteva zile încoace, poate fi descompus în trei determinanți de ordinul doi (iar în general, un determinant de ordinul $N$ poate fi descompus în $N$ determinanți de ordin $N-1$).

Astfel, determinantul $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ poate fi scris ca $$\Delta_1=1\cdot\left|\begin{array}{ll} 5&6\\ 8&10\\ \end{array} \right|-4\cdot\left|\begin{array}{ll} 2&3\\ 8&10\\ \end{array} \right|+7\cdot\left|\begin{array}{ll} 2&3\\ 5&6\\ \end{array} \right|.$$

Orice determinant poate fi scris ca o sumă de doi determinanți mai simpli

Am văzut că determinantul precedent avea valoarea $-3$. Dar acest determinant poate fi scris ca o sumă de doi determinanți mai simpli, care conțin zero-uri. Mai exact, determinantul $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ poate fi scris, de exemplu, ca o sumă dintre determinantul $$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 0&8&0\\ \end{array} \right|=48$$ și determinantul $$\Delta_3=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&0&10\\ \end{array} \right|=-51.$$

Observați că nu ne-am atins decât de linia trei, pe restul lăsându-le intacte! De asemenea, observați că adunând elementele liniei trei din determinanții $\Delta_2$ și $\Delta_3$, obținem exact elementele liniei trei din determinantul $\Delta_1$.

Un determinant nu se schimbă dacă înlocuim o linie cu suma a două linii DIFERITE

De exemplu, determinantul
$$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&10\\
\end{array} \right|$$

are aceeași valoare cu determinantul
$$\Delta_2=\left|\begin{array}{ll}
1&2&3\\
4+7&5+8&6+10\\
7&8&10\\
\end{array} \right|.$$

Problema V1SIP6: Calculați $\cos 105^\circ$.

Dacă trebuie să calculăm $\cos 105^\circ$, unul dintre primele gânduri care ne-ar putea trece prin minte ar fi să reducem cumva unghiul de $105^\circ$ la primul cadran. Pentru aceasta ne-am putea folosi de metoda pe care v-am prezentat-o într-un articol mai vechi pe care l-ați apreciat foarte mult. 

În esență, spuneam acolo că dacă scădem din unghiul dat $90^\circ$, atunci sinusul se transformă în cosinus sau cosinusul se transformă în minus sinus. În cazul nostru, cosinusul de $105^\circ$ se transformă în minus sinus de $105^\circ-90^\circ=15^\circ$. Adică, $\cos 105^\circ=-\sin 15^\circ$.

ProblemaV1SIP5: În sistemul cartezian xOy se dau punctele M(1,-4) și N(-2,5). Să se determine dreapta care trece prin originea sistemului și este perpendiculară pe dreapta MN.

Dacă ni se cere o dreaptă, înseamnă că răspunsul nostru trebuie să fie ceva de genul: $ax+by+c=0$ sau ceva și mai simplu, de genul $y=mx+n$. Acest „ceva” se numește „ecuația dreptei”. Primul ceva se numește „ecuația generală a dreptei”, iar al doilea ceva se numește „ecuația redusă a dreptei”. Putem trece ușor de la o formă la alta, prin operații permise asupra unei egalități, pe care le cunoașteți, precum trecerea unui termen dintr-o parte într-alta (cu semn schimbat) sau înmulțirea (împărțirea) întregii egalități cu un număr oarecare diferit de zero.

V1S1P4: Calculați probabilitatea ca, pentru un număr $a$ din mulțimea $\{1,3,5,\dots, 21\}$, expresia $3^{2a+1}\cdot 15^{a+2}$ să fie cub perfect

Din ceea ce se învață în liceu, știm că probabilitatea este o fracție care are la numărător (deci sus) „numărul cazurilor favorabile”, iar la numitor „numărul cazurilor posibile”. Întotdeauna, numărul de jos (deci cel de la numitor) este mai mare sau cel puțin egal cu numărul de la numărător. De parcă numărul mare este mai greu și se scufundă, lăsându-l pe cel mai ușor deasupra. Astfel, probabilitatea este întotdeauna un număr mai mic decât unu sau cel mult egal cu unu, ceea ce mai înseamnă că probabilitatea este mereu un număr subunitar sau eventual echiunitar, niciodată supraunitar.

Mate pentru BAC

Piscălind pe tabletă prin Android după diverse aplicații utile, am găsit ceva care merită amintit aici pentru voi, dragi elevi: aplicația „Mate pentru BAC”. Există și pentru iOS. Instalați-o, căci nu veți regreta. 

Vreau să felicit autorii aplicației cu această ocazie și să mă înclin în fața lor cu adâncă plecăciune.

V1S1P3: Să se rezolve ecuația $\sin x-\cos x=1$

Ecuația $\sin x-\cos x=1$ din enunț este o ecuație trigonometrică. De regulă, ecuațiile trigonometrice au o infinitate de soluții, dar cele mai interesante se află în intervalul $[0, 2\pi)$. Dacă găsim soluțiile interesante (deci, soluțiile care se află pe cercul trigonometric, căci intervalul $[0, 2\pi)$ reprezintă toate cele patru cadrane la un loc, patru sferturi în care este împărțit cercul), atunci restul soluțiilor se repetă prin adunare cu $360^\circ$ (sau cu $2\pi$, dacă vorbim în radiani, nu în grade).

Așadar, ne vom concentra întâi pe găsirea soluțiilor interesante, aflate în intervalul $[0,2\pi)$. Pentru aceasta, vă invit să aruncăm întâi o privire asupra ecuației, de data aceasta cu intenția de a ghici măcar câteva soluții. Obișnuiți-vă mintea să lupte și cu astfel de încercări, să ghicească soluțiile unor probleme chiar dacă încă nu are metoda riguroasă de a le obține.

Problema V1SIP2: Cât este valoarea minimă a funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+4$?

Graficul, adică desenul, unei funcții de gradul doi este o parabolă, adică ceva de genul

Linia albastră ne spune cât este $y$ dacă alegem noi un $x$. De exemplu, în dreptul lui $x=0$ observăm că linia albastră trece prin $y=4$, iar dacă îl alegem pe $x$ să fie $1$, atunci linia albastră taie axa $OX$, ceea ce înseamnă că $y=0$ acolo. Căci $y$-ii sunt pe verticală, iar $x$-ii sunt pe orizontală.

Problema V1SIP1: Să se rezolve în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2=-9$.

Încep aici cu această primă problemă dintr-o variantă de bacalaureat pe care v-o propun în viitor. V1 înseamnă varianta 1, SI înseamnă subiectul I, iar P1 înseamnă problema 1.

Pentru a rezolva o ecuație trebuie să găsim toate numerele posibile care, puse în locul necunoscutei ce apare în ecuație, duc spre un adevăr.

Ecuația noastră este o ecuație de gradul doi. Ecuațiile de gradul doi sunt tare drăguțe, căci ele au musai două soluții și musai de același fel (aceeași natură); adică, dacă una este reală, atunci bistoș și cealaltă va fi reală, iar dacă una este complexă, atunci bistoș și cealaltă va fi complexă.

Ba, mai mult, dacă ambele soluții sunt numere complexe, atunci între aceste două numere complexe există o legătură minunată: ele sunt numere complexe conjugate (adică, ele diferă numai prin semnul părții imaginare, a părții care îl conține pe $i$). Mai exact, dacă ai reușit să găsești una dintre soluții, nu-ți mai bați capul cu cea de-a doua, căci știi că cea de-a doua este tocmai numărul complex conjugat al primului număr complex.

Tabelul trigonometric, versiunea blog

Acest articol este versiunea blog a celuilalt articol în care m-am folosit de Google Docs.

În acest articol doresc să vă fac să înțelegeți (și astfel să rețineți) odată pentru totdeauna cele mai importante valori trigonometrice din primul cadran. Primul cadran înseamnă primul sfert din cercul trigonometric (în ordine trigonometrică). Mai jos puteți vedea cadranele unui cerc trigonometric.

Să se calculeze $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}.$$

Pentru a calcula limita $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}$$ vom încerca întâi să înlocuim $x$-ul cu 3, să vedem ce iese. Am avea atunci $$\lim_{x\to 3}\frac{5^x-125}{x-3}=\frac{5^3-125}{3-3}=\frac{125-125}{3-3}=\frac{0}{0}.$$

Dar, nimeni nu știe cât este $\frac{0}{0}$, pentru că această fracție este unul dintre cazurile de nedeterminare despre care v-am mai vorbit deja. Și am calculat deja o limită cu acest rezultat, doar că acolo aveam un raport de două polinoame, ori aici numărătorul nu este polinom (funcțiile exponențiale nu sunt funcții polinomiale).

Să se calculeze $\int x\sqrt{x+2}dx$

Cum ați calcula această integrală? Cum calculați o integrală când găsiți în ea radicalul? Desigur, prima dată ne gândim la tabel, ne gândim dacă nu cumva această integrală este undeva în tabel sau poate fi adusă rapid la forma din tabel. 

Din păcate, survolând tabelul, constatăm că toți radicalii care apar pe-acolo îl conțin sub radical pe $x^2$, nu pe $x$ simplu. Deci, deocamdată nu avem nicio șansă...

Atunci ne vom gândi rapid cum putem prelucra expresia $x\sqrt{x+2}$ de sub integrală astfel încât să obținem rezultatul căutat. Mintea mea va fugi la încercarea de a calcula integrala din radical, în ipoteza că acest radical nu ar mai avea nimic în fața lui care să încurce. Mai exact, îmi pun problema dacă pot calcula mai ușor integrala $$\int\sqrt{x+2}dx.$$

De-acum și pe mobil!

Ce bou am fost! V-am lăsat să vă chinuiți până acum și să nu vedeți de pe mobil formulele din blog. Dar, iertați-mă, abia acum am intrat pe blog de pe mobil ca să văd cum apar formulele, mai ales că abia în articolul precedent am pus formulă chiar în titlu.

Dar, de azi, mi-am reparat greșeala și am făcut o setare prin care puteți vedea formulele și de pe mobil. Mult succes, dragii mei!

Să se calculeze $\int\frac{1}{\sin^2x\cdot\cos^2x}dx$

V-am mai spus, când primim integrale, primul gând este TABELUL. Nu cumva integrala noastră este în tabel? Acesta este primul gând. Desigur, integrala noastră nu este în tabel, deci nu este chiar atât de simplă. Examinatorul nu ne-a sfidat inteligența, dându-ne o problemă prea simplă. :)

Dacă nu e în tabel, trecem la următorul gând. Nu cumva integrala noastră POATE FI ADUSĂ LA O FORMĂ în care să putem folosi tabelul? La acest al doilea gând insistăm mai mult. Pentru că, bineînțeles, dacă integrala nu este în tabel, atunci examinatorul ne-a dat o integrală pe care s-o putem transforma în așa fel încât să putem folosi până la urmă tabelul.

Calculați integrala (cu e la puterea u)

Calculați $$\int x^3\cdot e^{x^4}dx.$$

Ce variante sunt pentru a rezolva această problemă? Ce gânduri îi trec prin minte elevului când vede problema?

Poate unii s-ar gândi să calculeze această integrală prin părți, din moment ce ea este un produs de două funcții (căci atunci când vedeți un produs de două funcții, e posibil să meargă calculul și cu integrarea prin părți). Alții ar crede greșit că integrala asta s-ar calcula separând-o în două integrale.

Integrala nedefinită este o mulțime de primitive

În anumite probleme vi se poate cere să calculați integrala nedefinită a unei funcții, iar în alte probleme vi se poate cere să determinați o primitivă a unei funcții. Să vedem aici care poate fi deosebirea dintre ele.

Vă spun din start că mare deosebire nu poate fi între ele. Integrala nedefinită nu diferă fundamental de primitivă. Dacă vi se cere să calculați una din cele două, veți urma același calcul integral pentru ambele.

Compararea puterilor

Dacă vi s-ar cere să comparați numărul $2$ cu numărul $3$, problema ar fi extrem de simplă și ați răspunde automat că $2<3$.

Mai departe, dacă, fiind elevi de gimnaziu (când încă nu ați învățat complicații legate de puteri cu baze fracționare) vi s-ar cere să comparați $2^\color{red}{5}$ cu $3^\color{red}{5}$, din nou, răspunsul nu ar fi greu de dat, din moment ce exponentul puterilor ce trebuie comparate este același.

În fine, dacă bazele puterilor ar fi aceleași, din nou ar fi simplu să comparăm cele două puteri. De exemplu, putem compara ușor $\color{blue}{5}^2$ cu $\color{blue}{5}^3$, prin simpla comparare a lui $2$ și $3$.

Lege de compoziție

Adunarea numerelor naturale (deci, a numerelor fără minus și fără virgulă) ESTE o lege de compoziție, deoarece dacă adunăm ORICE două numere fără minus și fără virgulă obținem TOT numere fără minus și fără virgulă.

Dar scăderea numerelor naturale NU mai este lege de compoziție, deoarece EXISTĂ cel puțin două numere naturale a căror diferență să nu fie număr natural.

De exemplu, $5-7=-2$. Diferența acestor două numere naturale este un număr întreg (fără virgulă), dar nu este un număr natural (nu este și fără minus). Așadar, scăderea NU ESTE lege de compoziție PENTRU MULȚIMEA numerelor naturale.

Triunghiul echilateral

Cel mai frumos triunghi posibil este triunghiul echilateral. El este cel mai simetric triunghi. „Echi” înseamnă că ceva acolo este egal, iar „lateral” înseamnă că e vorba despre laturi. Așadar, triunghiul echilateral are toate cele trei laturi egale una cu cealaltă. 

Bineînțeles, dacă ne strofocăm să discutăm extraordinar de riguros, atunci trebuie să spunem că laturile triunghiului echilateral sunt congruente, nu egale, căci numai numerele sunt egale unul cu celălalt, nu și figurile geometrice. Dar noi n-o să facem acum abuz de atâta rigurozitate și vom spune în continuare că laturile triunghiului echilateral sunt toate egale, pentru că ne adresăm mereu începătorului în ale matematicii, începător pe care nu trebuie să-l sperii cu noianul de complexitate cu care poate fi abordată matematica și căruia trebuie să-i prezinți de fapt o față simplă a matematicii, o față esențială.

Numere pitagoreice

Printre triunghiurile dreptunghice cu care vă veți întâlni până la bacalaureat există un tip (triunghiuri dreptunghice pitagoreice, cu laturi date de numere pitagoreice) despre care aș vrea să vă vorbesc în acest articol.

Triunghiul dreptunghic are o singură proprietate fundamentală (din care pot fi deduse celelalte): are un unghi drept (adică, un unghi de 90 de grade). Atât. Dacă întâlniți un triunghi cu un unghi de 90 de grade, atunci puteți spune liniștiți despre acel triunghi că este triunghi dreptunghic. 

Și va rezulta automat că celelalte două unghiuri rămase ale triunghiului dreptunghic sunt mai mici de 90 de grade (căci suma unghiurilor unui triunghi trebuie să fie 180 de grade).

Cam cum cred eu că trebuie să fie un profesor

O primă cerință este obiectivul fundamental al profesorului. Ce dorești tu ca profesor? Doar salariul? Sau doar banii elevului la meditații? Sau vrei să arăți ce bun profesor ești tu, ce multe știi? Nici vorbă! Un profesor bun are un singur obiectiv: să-l ajute pe elev să înțeleagă cât mai mult, indiferent de consecințe, de metodă, de resursele folosite.

Profesorii care turuie într-una sunt inutili, așa cum și trenurile care merg cu 100 de km pe oră ar fi inutile dacă nu ne-am putea urca în ele. Elevul nu poate urca într-un tren ce merge cu 100 de km pe oră fără să oprească. Așadar, nu preda în viteză, dacă nu vrei să treci ca acceleratul pe lângă mintea elevului. Oprește ușor în stația în care te așteaptă elevul, ajută-l să urce în tren și accelerează frumos împreună cu el, fără să-l lași să mai cadă din tren vreodată. 

Cea mai faină proprietate a trapezului isoscel ortodiagonal

Trapezul este asemănător unui paralelogram, doar că are două laturi „stricate”. În timp ce paralelogramul are toate cele patru laturi paralele (două câte două, desigur), trapezului i-au rămas doar două astfel de laturi paralele. În figura de mai jos, doar laturile AB și CD sunt paralele, celelalte două fiind neparalele („stricate”).

Observați că trapezul nostru are obligatoriu una dintre cele două laturi paralele (laturi pe care le numim „baze”) mai mare decât cealaltă. Căci, dacă bazele ar fi egale, atunci trapezul n-ar mai fi paralelogram stricat, ci ar fi tocmai paralelogram (căci dacă două laturi sunt nu doar paralele, ci chiar și egale (mai riguros spus, „congruente”), atunci ele formează un paralelogram). Prin urmare, putem vorbi despre „baza mare” și „baza mică” ale unui trapez. În figura noastră, baza AB este mai mare decât baza CD.

Formula lui Moivre rezultă din cea a lui Euler

Într-un articol precedent vă vorbeam de o bunătate de formulă pe care o moștenim de la scumpul Moivre. Spuneam acolo că formula lui Moivre, în toată splendoarea ei, este

$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}.$$
Iar în alt articol vorbeam de „cea mai remarcabilă formulă matematică”, după spusele fizicianului Richard Feynman, care este formula lui Euler:
$$\large\color{red}{\boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}}.$$

Altă metodă pentru calculul sinusului triplului

În articolul precedent am dat exemplul prin care, cu ajutorul formulei lui Moivre, am calculat ușor cosinusul și sinusul triplului unui unghi.

Voi arăta în acest articol cum se mai poate calcula sinusul triplului folosind o altă metodă, aceea bazată pe formula de calcul al sinusului sumei a două unghiuri.

Noi cunoaștem deja această formulă. Mai exact, știm că avem
$$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b. $$
Având această formulă în față putem să ne apucăm să calculăm deocamdată sinusul dublului unghiului. 

Din bunătățile formulei lui Moivre

În liceu, după ce învățați numerele complexe (alea de forma $z=a+bi$, cu $i=\sqrt{-1}$), vine și vremea în care primiți cadou această formulă tulburătoare, ce ne spune că 
$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}!!!$$Doamne, dumnezeule, ce formulă! Ea este aproape la fel de tare ca și formula mai generală a lui Euler (din care poate fi dedusă foarte ușor această formulă a lui Moivre). 

Ce geniu trebuie să ai în sânge ca să descoperi o asemenea formulă?! Cât de sus trebuie să fii cu capul în nori ca să poți ajunge la o asemenea formulă?! Cât de ciudat și chiar nebun trebuie să apari în ochii celorlalți oameni banali care-și duc veacul căutând nimicuri?!

Dedic acest articol anonimului care, într-un comentariu recent pe blog, amplasat exact unde trebuia, m-a stârnit să scriu despre formula lui Moivre, întrebându-mă cum ar putea reține mai ușor valorile pentru funcțiile trigonometrice surori, cosinus și sinus.

Funcție impară

Să se arate că funcția $f:(-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})\to\mathbb{R}$, dată prin legea $f(x)=\ln\frac{2+x^3}{2-x^3}$ este impară.


Primul hop pe care trebuie să-l treacă un elev izbit cu această problemă este dat de efortul de a-și reaminti ce este funcția impară (și, bineînțeles, cu această ocazie își va reaminti și ce este funcția pară).

O funcție $f(x)$ este impară dacă ea are proprietatea că $f(-x)=-f(x)$. Observați că nu e mare filozofie. Totul este să calculați cele două lucruri care apar într-o parte și într-alta a semnului „egal” și să vedeți dacă cele două calcule coincid.

Cum să folosiți blogul

Desigur, mulți dintre voi ați remarcat deja că puteți face căutări pe acest blog prin diverse metode. Dar pentru aceia dintre voi care nu au încercat încă, voi prezenta mai jos câteva metode prin care puteți survola mai ușor blogul.

Câmpul de căutare

Puteți observa că în partea de sus a blogului, imediat după antet, apare un câmp de căutare.

Am evidențiat cu roșu acest câmp. Puteți scrie aici un cuvânt sau o expresie după care doriți să faceți căutarea. 

Numerele complexe nu sunt complexe

Unii dintre voi ați auzit de ciudatele numere complexe. Și poate v-ați speriat de numele lor nedrept. Eu vă voi arăta aici că aceste numere nu sunt nici pe departe atât de complexe pe cât le spune numele, ci chiar există analogii cu celelalte numere.

Facem întâi o mică recapitulare pentru numerele necomplexe. Astfel, cunoaștem numere naturale (numere care nu au nici virgulă și nici minus), apoi numere întregi (numere care nu au virgulă dar pot avea minus), apoi numere raționale (numere care pot fi scrise ca o fracție de numere întregi) și numere iraționale (de regulă, orice radical sau logaritm care nu poate fi extras fără virgulă, numărul $\pi$, numărul $e$ și multe multe altele (sunt „mai multe” numere iraționale decât numere raționale!)).

Mulțimile formate cu numere necomplexe au următoarele notații:

Să vă amintiți rapid...

Nu vă amintiți un fleac? Îl găsiți aici.

Voi adăuga aici diverse informații de care aveți nevoie urgent. Sugerați-mi voi ce să mai adaug. Până atunci încep cu:

1. $\ln 1=0$; $\ln e=1$; $\ln e^2=2$, unde $e$ este numit uneori și „numărul lui Euler”. Acest număr $e$, aflat undeva între numerele 2 și 3 (cam 2,71), este la fel de important în analiza matematică precum este numărul $\pi$ (aflat între 3 și 4, cam 3,14) în geometrie.
2. $\frac{1}{\infty}=0$; $\frac{2}{\infty}=0$ (dacă împart o pâine la o infinitate de oameni, atunci niciunul dintre ei, bieții, nu va primi absolut nimic din acea pâine, nici măcar o firimitură!).
3. $e^{-\infty}=0$ și, bineînțeles, nu doar $e$. Adică avem și $7^{-\infty}=0$. Dar acest lucru este valabil numai pentru numere mai mari decât $1$.
4. $x'=1$, $7'=0$ (am folosit apostroful pentru derivare).

O altă demonstrație pentru proprietatea medianei principale

Într-un articol anterior vă arătam că ipotenuza este dublul medianei duse din unghiul drept, iar demonstrația era bazată pe faptul că ipotenuza este tocmai diametrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic.

Vă voi prezenta aici o altă demonstrație pentru această proprietate minunată. Astfel, fie triunghiul dreptunghic ABC, dreptunghic în A. Ducem mediana principală AD (adică, mediana dusă din vârful unghiului drept), D fiind mijlocul ipotenuzei BC. 

Centrul de greutate al unui triunghi

Ca o continuare a unui articol mai vechi, vă readuc în atenție centrul de greutate al unui triunghi, dintr-o perspectivă mai largă.

Centrul de greutate al triunghiului este probabil cel mai important dintre centrele triunghiului (căci există mai multe asemenea centre: ortocentrul, centrul cercului înscris, centrul cercului circumscris). 

O șmecherie cu litera dublă la teorema catetei și teorema înălțimii

Într-un triunghi dreptunghic ABC în care am dus înălțimea principală (înălțimea dusă din vârful unghiului drept) AD sunt valabile o mulțime de proprietăți interesante.

Două dintre ele se numesc „Teorema catetei” și, respectiv, „Teorema înălțimii”. Ele rezultă din observația că toate triunghiurile dreptunghice pe care le vedeți în figură sunt triunghiuri asemenea, deoarece fiecare dintre aceste triunghiuri dreptunghice are câte un unghi comun, deci se aplică tocmai cazul de asemănare UU.

Asemănarea DBA cu ABC

Triunghiul mic DBA este asemenea cu triunghiul mare ABC. Observați că ordinea în care am ales literele nu este întâmplătoare, ci este dată de egalitatea dintre măsurile unghiurilor corespunzătoare. 

Procente, scumpiri, ieftiniri

Putem întâlni probleme (ușoare) care ne dau prețul inițial al unui produs și care ne cer apoi prețul final după o scumpire sau o ieftinire.

Apoi, mai putem întâlni probleme ceva mai grele care ne dau, invers, întâi prețul final și ne cer prețul inițial pe care l-a avut anumitul produs înainte de scumpire sau de ieftinire.

În lecția de față vom găsi câteva formule care guvernează asemenea calcule și vom încerca să le facem cât mai ușor de înțeles.

Primul tip: se dă prețul inițial și procentul de scumpire și se cere prețul final

Începem cu cel mai simplu tip de probleme de acest gen: probleme în care se dă prețul inițial, se dă procentul de scumpire sau ieftinire și ni se cere prețul final. 

Ipotenuza este dublul medianei corespunzătoare

Să presupunem că primiți următoarea problemă: 

Într-un triunghi dreptunghic ABC, dreptunghic în A, lungimea medianei duse din vârful A este egală cu 8 centimetri. Se cere lungimea ipotenuzei.

Desigur, din titlu vă puteți da seama că ea va fi dublul lui 8, adică 16 centimetri. Dar să vedem de ce este așa.

Pentru aceasta, vom desena un cerc de centru O, vom trasa un diametru oarecare (verde), adică o coardă oarecare, dar care trece prin cercul centrului, diametru pe care îl vom nota cu BC, după care vom alege un punct (de asemenea) ARBITRAR, deci oarecare, oriunde pe cerc, punct pe care îl vom nota cu A (de la ARBITRAR?).

Atunci, triunghiul ABC este DREPTUNGHIC în A.

Așadar, atât triunghiul ABC din figura 1 este dreptunghic,

Figura 1.

cât și triunghiul ABC din figura 2 este, de asemenea, dreptunghic.

Funcția de gradul întâi

În Matematică, „funcție” este numele pe care îl dăm unui obiect extraordinar de important. Și așa cum un obiect are, de regulă, mai multe părți, tot astfel și funcția (de exemplu, $f(x):\mathbb{A}\to\mathbb{B}$, dată prin $f(x)=7x-3$) este un obiect alcătuit din trei componente:

1. Domeniu. (În cazul nostru, $\mathbb{A}$)
2. Codomeniu. (În cazul nostru, $\mathbb{B}$)
3. Lege. (În cazul nostru, $f(x)=7x-3$)

Unii elevi cred că doar legea este importantă pentru funcție, uitând că și domeniul și codomeniul sunt necesare pentru a defini complet o funcție.

Număr liber de pătrate

Mi-a venit timpul și cheful să scriu din nou aici pentru voi, acum că mi s-au rărit elevii pe care îi meditez. Bine, nu cred că voi mai scrie zilnic, căci mai am și alte obiective, legate de cercetarea Fizicii elicoidale sau de acțiuni pentru societate.

Așa că, putem vorbi azi despre... despre... despre... ce mi-a venit mie în minte acum și anume despre numărul liber de pătrate. Vreau să vă explic aici ce este un număr liber de pătrate și la ce este bună o astfel de mâncare de pește.

Deci. Voi începe cu niște exemple. Exemple de numere libere de pătrate. Și niște contraexemple.

Iată niște numere libere de pătrate:         3          14         15       22        626.

Și iată alte numere care sunt rău stresate de pătrate:    8          12        18        72.

Numerele din prima listă se laudă că sunt „curate” și că nu conțin niciun pătrat perfect în ele. Pe când celelalte umblă cu capul plecat, rușinoase, că poartă în spate, aproape fără rost, ditamai pătratele perfecte.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.c

Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$ și numărul $I_n=\int\limits_0^1 x^n f(x) dx$, cu $n$ număr natural nenul. În aceste condiții, arătați că $nI_n=\sqrt 5-4(n-1)I_{n-2}$, oricare ar fi numărul natural $n\ge 3$.

Pentru a putea demonstra relația cerută  $nI_n=\sqrt 5-4(n-1)I_{n-2}$, ni se sugerează ceva. Observați că în relație apare $\sqrt 5$. Înseamnă că acest $\sqrt 5$ ar putea fi obținut din ceva de genul $\sqrt{1+4}$, adică s-ar putea să fie rezultatul a ceva cu $\sqrt{x^2+4}\left.\right|_0^1$. Aha! Deci, ni se sugerează să încercăm să calculăm integrala. Haideți, atunci, să vedem ce putem face pentru a calcula integrala. Desigur, va fi un calcul de recurență, adică nu un calcul complet, ci unul parțial, în care integrala de ordinul mare depinde de integralele de ordin mai mic. Ia să vedem...

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.b

Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ f(x):R→R, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este funcție crescătoare pe $\mathbb{R}$.


În multe variante de bac am întâlnit această capcană excelentă. Și chiar am mai rezolvat un exemplu de asemenea problemă. Este oarecum o capcană, pentru că un elev superficial, dar care, totuși, simte măcar cam ce are de făcut, va gândi că are o groază de lucru, cam în felul următor: „Bun. Deci, am de calculat întâi primitiva, apoi trebuie să mă gândesc să arăt cumva că această primitivă este funcție crescătoare. Hmmm... Aaaa. Păi, da, știu, cu tabelul acela care conține semne și săgeți oblice! O să fac tabelul cu cele trei linii, care va conține $x$, derivata și funcția. Apoi în dreptul derivatei voi determina semnele, iar în dreptul funcției voi pune săgețile corespunzătoare.”

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 2.a

Fie funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată prin legea $f(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}$. Calculați $\int\limits_0^2 f^2(x)dx$.


Ca să calculăm integrala, trebuie să știm din ce trebuie să calculăm integrala. Altfel spus, noi trebuie să ridicăm la pătrat funcția noastră și să vedem ce iese. Așadar
$$f^2(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)^2=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}.$$
Dar, când ridicăm la pătrat un radical, radicalul dispare ca prin farmec, căci, de exemplu,
$$(\sqrt{7})^2=\sqrt 7\cdot\sqrt 7=\sqrt{7\cdot 7}=\sqrt{49}=7.$$


Prin urmare, $$f^2(x)=\frac{1^2}{(\sqrt{x^2+4})^2}=\frac{1}{x^2+4}.$$ Asta înseamnă că integrala pe care trebuie s-o calculăm este $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx.$$

Dar, desigur, integrala aceasta este rușinos de simplă pentru un elev care cunoaște de-a fir a păr tabelul fundamental cu integrale, căci găsiți acolo tocmai această integrală, doar că în loc de $4$ aveți alt număr. Mai exact $$\large{\color{blue}{\int\limits_a^b\frac{1}{x^2+a^2}dx=\left.\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right|_a^b}}.$$

Dacă nu știți această formulă la bac, ați pierdut cele 5 puncte faine pe care le-ați fi putut primi. Pentru că nu cred că ați putea găsi pe loc o altă metodă de integrare (de exemplu, cea cu schimbarea de variabilă), din moment ce nu v-ați deranjat nici măcar să rețineți această formulă simplă.

Așadar, faceți cumva și rețineți formula, ca să puteți calcula integrale dintr-o fracție așa de simplă precum $\frac{1}{x^2+a^2}$. Căci, de-aici încolo totul devine rutină. Astfel, integrala noastră devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+4}dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx.$$
Adică, la noi $a$ devine $2$. În final $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\int\limits_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_0^2.$$ Adică $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\left.\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}\right|_{\color{magenta}{0}}^{\color{limegreen}{2}}=\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{limegreen}{2}}}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\arctan\frac{{\color{magenta}{0}}}{2}\right).$$
Desigur, parantezele n-au fost necesare, doar că eu am dorit să vă reamintesc cum se delimitează calculul conform formulei Leibniz-Newton. În fine, mai trebuie să știm cât este $\arctan 1$ și $\arctan 0$. Adică, vrem să găsim răspunsul la întrebările „tangentă de cât ne dă $1$?” și „tangentă de cât ne dă $0$?”. Din nou, răspunsurile sunt banale și le putem găsi în tabelul trigonometric. Ele sunt $\frac{\pi}{4}$ și, respectiv, $0$. Atunci, integrala căutată devine $$\int\limits_0^2 f^2(x)dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\large{\color{red}{\frac{\pi}{8}}}.$$

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.c

Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Calculați $\lim_{x\to+\infty} f(-x).$


Când vrem să calculăm o limită, încercăm să înlocuim argumentul cu valoarea. În cazul nostru, încercăm să-l înlocuim pe $x$ din funcția $f(-x)$ cu $+\infty$. Așadar, $$\lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\frac{-\infty+1}{e^{-\infty}+\infty}=\frac{-\infty}{0+\infty}=-\frac{\infty}{\infty}.$$ Acesta este un caz exceptat, o nedeterminare, deci nu ne ajută cu nimic pentru a găsi limita.

Prin urmare, încercarea noastră de a calcula limita prin simpla înlocuire a argumentului cu valoarea a ajuns într-un impas. Și trebuie să ne întoarcem la stadiul în care încă nu facem înlocuirea, ci ne străduim să mai modificăm ceva pe-acolo înainte de înlocuire.

O modificare fascinantă, pe care o știm de la matematicianul francez l'Hôpital este cea în care o asemenea limită (deci limitele cu nedeterminarea $\color{blue}{\frac{\infty}{\infty}}$ sau $\color{blue}{\frac{0}{0}}$) se calculează prin derivarea separată a numărătorului și separată a numitorului. Mai precis, în cazul acestor două nedeterminări, avem regula lui l'Hôpital
$$\color{blue}{\lim_{x\to\text{ceva}}\frac{f}{g}=\lim_{x\to\text{ceva}}\frac{f^\prime}{g^\prime}}.$$

Din fericire, această regulă o puteți folosi în foarte multe cazuri și, desigur, și în cazul nostru. Astfel, limita noastră va deveni atunci $$\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(-x+1)^\prime}{(e^{-x}+x)^\prime}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^\prime+1^\prime}{(e^{-x})^\prime+x^\prime}.$$

Aici, cea mai grea derivată este $(e^{-x})^\prime$. Restul sunt simple, căci $x^\prime=1$, iar $1^\prime=0$. Bun. Dar cât o fi $(e^{-x})^\prime$? Păi, avem o formulă care spune că $\color{blue}{(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime}$. Cum, la noi $u=-x$, avem că $(e^{-x})^\prime=e^{-x}\cdot(-x)^\prime=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$.

Acum avem o formă mai aerisită a limitei:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{-x+1}{e^{-x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^\prime+1^\prime}{(e^{-x})^\prime+x^\prime}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{1-e^{-x}}.$$

Acum dacă îl înlocuim pe $x$ cu $\infty$ vom obține că $e^{-\infty}=\frac{1}{e^\infty}=\frac{1}{\infty}=0$. Astfel, limita căutată este
$$\lim_{x\to+\infty}f(-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{1-e^{-x}}=-\frac{1}{1-0}=\color{red}{-1}.$$

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.b

Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Determinați ecuația tangentei la graficul acestei funcții în punctul de pe grafic a cărui abscisă este $x_0=0$.


Tangenta la grafic într-un anumit punct este o dreaptă care atinge graficul fără să-l taie. Asta înseamnă că tangenta trece doar printr-un singur punct al graficului.

Dar un singur punct înseamnă, de fapt, două puncte infinit apropiate. Deci, dacă am alege două puncte oarecare de pe graficul funcției prin care să treacă o dreaptă și am pune condiția ca cele două puncte să se apropie foarte mult de punctul dorit, atunci am găsi tocmai tangenta.

Haideți să vedem ce iese. Fie $x_0$ abscisa punctului în care vrem să găsim tangenta și fie $x_1$ un punct foarte apropiat de $x_0$. Atunci, ecuația dreptei care trece prin aceste două puncte este dată de

$$\begin{vmatrix}
  x & y & 1 \\
  x_1 & f(x_1) & 1 \\
  x_0 & f(x_0) & 1
 \end{vmatrix}=0$$

sau, echivalent,
$$\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$$

Acum, dacă vrem ca punctul $x_1$ să fie cât mai apropiat de $x_0$ va trebui să facem limită când $x_1$ tinde la $x_0$ în această relație de mai sus. Vom avea atunci
$$\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$$

Dar limita din dreapta este, prin definiție, tocmai derivata funcției în punctul $x_0$. Așadar, putem scrie că ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)$ în punctul de abscisă $x_0$ (și, implicit, de ordonată $y_0=f(x_0)$) va fi dată de (rețineți formula, că nu-i grea!)
$$\large{\color{blue}{\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}=f^\prime(x_0)}}.$$

Această formulă este cel mai important lucru pe care trebuie să-l cunoașteți pentru a rezolva problema cu tangenta. Ea ne mai spune, printre altele, că panta tangentei (fracția din stânga egalității este tocmai panta dreptei) este egală cu derivata funcției în punctul cerut.




Bun. Să presupunem acum că elevul ar fi știut formula tangentei (un elev care a învățat formulele pentru bac o știe în mod sigur). De aici încolo îi trebuie doar înlocuiri și calcule de rutină. Ia să vedem. La noi, $x_0=0$. Ce fain! Iar derivata am calculat-o deja la punctul precedent (sper că nu v-a trecut prin minte s-o calculăm iar!), adică ea este
$$f^\prime(x)=\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}.$$

Atunci să trecem la înlocuiri. $$f^\prime(x_0)=f^\prime(0)=\frac{1-0\cdot e^0}{(e^0-0)^2}=1,$$
iar $$f(x_0)=f(0)=\frac{0+1}{e^0-0}=1.$$

Așadar, putem scrie că ecuația tangentei căutate este
$$\frac{y-1}{x-0}=1.$$

Iar după prelucrări elementare obținem în final că ecuația tangentei căutate, în forma generală, este
$$\large{\color{red}{x-y+1=0}}.$$

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul III, problema 1.a

Se dă funcția $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dată de $f(x)=\frac{x+1}{e^x-x}$. Calculați $f^\prime(x)$.


Când se cere $f^\prime(x)$ se cere de fapt derivata funcției $f(x)$. Derivata unei funcții este o limită. Deci, dacă nu ne-am aminti ceea ce trebuie pentru rezolvarea problemei, atunci ar trebui să ne amintim măcar definiția derivatei ca fiind o limită, căci o asemenea definiție ne-ar ajuta să rezolvăm cumva problema noastră.

Din fericire, noi nu ne vom chinui acum cu definiția derivatei, ci, bucuroși că ne amintim regula care trebuie, vom calcula așa cum se cuvine această derivată. Care o fi regula necesară?

Păi, vedem că funcția noastră este o fracție. Așadar, vom scormoni prin memoria noastră după o regulă care ne ajută să derivăm fracții. Regula de derivare a unei fracții seamănă foarte mult cu cea pentru derivarea unui produs. Din acest motiv, vi le voi aminti pe ambele, ca să vedeți distincția și asemănarea teribilă dintre ele.

$$(f\cdot g)^\prime=f^\prime g\,\large{\color{red}{+}}\,fg^\prime$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\frac{f^\prime g\,\large{\color{red}{-}}\,fg^\prime}{g^2}$$

Desigur, cum funcția noastră este o fracție, noi vom folosi formula de derivare a fracției. Așadar, vom avea
$$f^\prime(x)=\left(\frac{x+1}{e^x-x}\right)^\prime=\frac{\color{blue}{(x+1)^\prime} (e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}}{(e^x-x)^2}.$$

Dar $\color{blue}{(x+1)^\prime}=x^\prime+1^\prime=1+0=\color{blue}{1}$. Totodată, $\color{limegreen}{(e^x-x)^\prime}=(e^x)^\prime-x^\prime=\color{limegreen}{e^x-1}$.

Astfel, derivata noastră devine
$$f^\prime(x)=\frac{\color{blue}{1}\cdot(e^x-x)-(x+1)\color{limegreen}{(e^x-1)}}{(e^x-x)^2}.$$

Desigur, nu ne vom opri aici, căci încă nu suntem mulțumiți, din moment ce mai putem face o groază de lucru. Vom lăsa numitorul cuminte și neschimbat, dar vom desface parantezele prin înmulțire și, cu mare grijă la semne, vom avea
$$f^\prime(x)=\frac{e^x-x-xe^x+x-e^x+1}{(e^x-x)^2},$$
adică, după ce reducem ceea ce se poate reduce, obținem
$$f^\prime(x)=\color{red}{\frac{1-xe^x}{(e^x-x)^2}}.$$

Asta-i tot. Acuma v-aș fi văzut cum v-ați fi chinuit să obțineți această derivată dacă nu cunoșteați regula de derivare a raportului. Așa că nu vă jucați cu aceste reguli. Învățați-le și memorați-le, măcar până la bac. Și, cine știe, s-ar putea să nu le mai uitați niciodată, cum am pățit-o eu...

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.c

Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real. Arătați că dacă $m>0$, atunci polinomul are două rădăcini de același modul.



Știm că orice polinom (cu coeficienți reali) de gradul 3 are 3 rădăcini, așa cum orice polinom (cu coeficienți reali) de gradul $n$ are $n$ rădăcini. Este o cunoștință foarte prețioasă și fundamentală, oricât de banală ar părea.

Din păcate, să nu uitați, această cunoștință este valabilă doar pentru polinoamele ai căror coeficienți sunt numere reale. Căci, de exemplu, dacă luăm un polinom cu coeficienți în $\mathbb{Z_4}=\{\hat 0;\,\hat 1;\,\hat 2;\,\hat 3\}$ (mulțimea claselor de resturi modulo 4), polinom dat de $g(X)=\hat 2X+\hat 2$, acesta va avea două rădăcini ($x_1=\hat 1$ și $x_2=\hat 3$), deși gradul polinomului este unu.

Ok. Deci, știm că polinomul nostru are sigur trei rădăcini. De regulă, notăm rădăcinile polinomului ca fiind $x_1$, $x_2$ și, respectiv, $x_3$. Acum noi trebuie să arătăm că două dintre ele au același modul.

Unui elev care știe ceva matematică îi vine în minte o informație foarte prețioasă legată de această problemă: rădăcinile nereale (adică, cele care au și parte imaginară) vin în perechi. Mai exact, elevul își va aminti că dacă un polinom are rădăcina complexă $z=a+bi$, atunci el are musai și rădăcina conjugată $\overline{z}=a-bi$.

Și cum de îi vine lui în minte așa ceva? De ce se gândește elevul bun neapărat la faptul că numerele complexe vin în perechi? De unde vine această intuiție formidabilă a elevului? Răspunsul se află în formularea problemei, pentru că problema amintește despre două rădăcini și pentru că elevul știe că rădăcina complexă $z=a+bi$ are exact același modul cu rădăcina complexă conjugată, adică $|z|=|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}$.

Așadar, elevul are deja în minte planul rezolvării problemei. El va arăta întâi că în condițiile date (deci cu $m$ strict pozitiv) polinomul nu poate avea toate rădăcinile reale. Astfel, cel puțin una dintre rădăcini va trebui să fie nereală (deci, cu partea imaginară nenulă). Dar dacă una dintre rădăcini este nereală, atunci și a doua va fi nereală (tocmai conjugata ei). Ba, mai mult, și a doua va avea același modul ca și prima. Și gata!

Ia să vedem atunci. Să arătăm împreună cu istețul nostru elev că rădăcinile polinomului nostru nu pot fi toate reale. Asta-i cel mai greu. Cum am putea arăta că rădăcinile noastre nu pot fi toate reale?

De regulă, pentru a arăta că ceva nu este adevărat, presupunem prin absurd că acel ceva este adevărat și continuăm un raționament corect până când ajungem la o contradicție. Așadar, noi vom presupune prin absurd că toate rădăcinile polinomului nostru sunt reale. Și căutăm să vedem la ce contradicție ajungem.

Și nici măcar nu vom merge la întâmplare, căci știm chiar și ce contradicție căutăm. Căutăm o contradicție între faptul absurd pe care l-am presupus, anume că toate rădăcinile sunt reale, și faptul care ni se dă în problemă și anume că $m$ este strict pozitiv. Pe-aici pe undeva se ascunde contradicția căutată. Așadar, ne vom gândi cum putem crea o contradicție între faptul că trei numere sunt reale și faptul că un alt număr este mereu strict pozitiv. Deci, trebuie să ne gândim la o inegalitate care poate fi creată între trei numere reale și un număr pozitiv.

Aha! Sub influența acestor căutări, ne vine în minte una dintre cele mai importante inegalități din matematică: dacă $x$ este număr real, atunci $x^2\ge 0$. Înseamnă că ar trebui să facem cumva legătura între ceva expresie cu pătratul rădăcinilor și numărul $m$.

Pătratul rădăcinilor! Ia să ne gândim la pătratul rădăcinilor. Cum putem să ne gândim la pătratul tuturor celor trei rădăcini? Cred că numai făcând suma pătratelor acestora. Așadar, ne interesează expresia de forma $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. Vrem să cunoaștem semnul acestei expresii, pentru a-l compara cu semnul lui $m$.

Este clar că pentru ceea ce urmează vom avea nevoie de minunatele relații ale lui Viète pentru un polinom de gradul trei, pentru că numai acolo putem să găsim suma rădăcinilor și suma pătratelor acestora. Iar acest lucru îl va simți elevul care cunoaște relațiile dintre coeficienți și rădăcini.

Pentru aceasta, ne amintim că există formula de calcul prescurtat
$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc),$$
din care rezultă apoi că
$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc).$$

Aplicăm această relație la rădăcinile polinomului nostru. Adică, avem
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3).$$

Ne apropiem acum de finalul rezolvării, căci în expresia de mai sus vom folosi relațiile lui Viète. Relațiile lui Viète ne spun, printre altele, că
$$x_1+x_2+x_3=-\frac{\text{coeficientul din fața lui }X^2}{\text{coeficientul dominant}}$$
și
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{\text{coeficientul din fața lui }X}{\text{coeficientul dominant}}.$$

Asta înseamnă că
$$x_1+x_2+x_3=-\frac{0}{1}=0$$
și
$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{m}{1}=m.$$

Atunci,
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=0-2m=-2m.$$

Dar $-2m$ este un număr negativ, din moment ce $m$ este strict pozitiv. Adică, am obținut că suma pătratelor rădăcinilor este un număr negativ. Dar acest lucru vine în contradicție cu presupunerea că toate rădăcinile sunt numere reale, căci ar fi trebuit să obținem că suma pătratelor a trei numere reale este un număr pozitiv.

Așadar, am demonstrat riguros, în sfârșit, că rădăcinile polinomului nostru nu pot fi toate reale. Atunci cum pot fi rădăcinile? Toate sunt rădăcini nereale? Nuuuu! Doar am văzut mai sus că rădăcinile complexe vin în perechi. Așadar, nu putem avea trei rădăcini nereale, ci numai două. Iar acele două sunt conjugate, după cum am văzut mai sus. Și tot mai sus am văzut că rădăcinile complexe conjugate au același modul. Iar acestea fiind spuse, am finalizat rezolvarea.




Desigur, voi la bac nu va trebui să-i explicați examinatorului atâtea detalii, căci el știe bine cu ce se mănâncă matematica. Lui îi veți scrie că din relațiile lui Viète rezultă că avem și rădăcini nereale și îi veți menționa că știți că rădăcinile nereale vin în perechi conjugate care au același modul.

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 2.b

Fie polinomul $f=X^3+mX-3$, unde $m$ este un parametru real. Determinați numărul real $m$, în cazul în care polinomul $f$ este divizibil cu $X+1$.




Pentru a găsi numărul $m$ în așa fel încât polinomul dat să fie divizibil cu $X+1$ aș vrea să ne amintim întâi ce înseamnă faptul că două polinoame se divid.

Pentru aceasta să ne amintim ce știm despre divizibilitate în cazul numerelor. Când sunt divizibile două numere? Atunci când restul împărțirii lor este nul.

La fel, două polinoame sunt divizibile, dacă restul împărțirii lor este nul. Prin urmare, pentru a găsi parametrul căutat $m$ în cazul în care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$ trebuie să pornim de la nulitatea restului.

Dar mai întâi trebuie să cunoaștem restul și abia apoi îl vom egala cu zero. Cât o fi restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X+1$? Mai exact, cum ar depinde acest rest de numărul $m$?

Ei bine, există cel puțin trei modalități de a găsi restul împărțirii polinomului oarecare $f$ la polinomul $X-a$, unde $a$ este un număr oarecare:

1. Metoda băbească, împărțirea propriu-zisă a celor două polinoame și aflarea restului la finalul împărțirii. Aceasta este cea mai primitivă metodă de calcul al restului și nu face cinste unui elev de M1. De aceea, elevul de M1 va trebui să se gândească imediat la altă metodă, mult mai eficientă.
2. Schema lui Horner. Această metodă constă într-un algoritm minunat de recurență pentru împărțirea cu $X-a$, bazat pe un tabelaș drăguț în care apar numai coeficienți. La finalul calculului apare tocmai restul împărțirii.
3. Cea mai genială metodă este bazată tocmai pe teorema împărțirii cu rest. Această teoremă spune că polinomul $f$ poate fi scris ca $f(X)=\text{Câtul}(X)\cdot(X-a)+\text{Restul}$. Mai departe trebuie să observăm ceva șmecheresc: dacă în această teoremă punem în loc de $X$ tocmai $a$ obținem tocmai restul! Cum așa? Iată cum: $$f(a)=\text{Câtul}(a)\cdot\color{blue}{(a-a)}+\text{Restul}=\color{blue}{0}+\text{Restul}=\text{Restul}.$$ Adică, în cuvinte, restul împărțirii unui polinom $f(X)$ la $X-a$ este tocmai $f(a)$!

Propoziția evidențiată cu verde este magică! Ea ne scutește de o groază de lucru. Și cu o asemenea cunoștință elevul de M1 se poate mândri. Vă dați seama că un elev slăbuț s-ar fi apucat sărăcuțul de împărțirea celor două polinoame și ajungea la restul dorit abia la sfârșitul împărțirii, dacă avea mare grijă să nu greșească vreun semn la împărțire.





Deci, noi vom folosi cea mai modernă modalitate de a rezolva problema, adică:

•  vom calcula $f(a)$, adică, la noi $a$ fiind $-1$ (căci din $X-a=X+1$ rezultă că $a=-1$),
•  vom egala rezultatul cu zero (căci restul trebuie să fie nul) și
•  vom găsi soluțiile ecuației care se va naște astfel.

Zis și făcut. Să vedem cât este $f(a)$. Avem $f(a)=f(-1)=(-1)^3+m\cdot(-1)-3=-1-m-3=-m-4$. Acum egalăm acest rezultat cu zero și avem $-m-4=0$, deci $\color{red}{m=-4}$.

În final vreau să fac o mică sinteză pentru a denumi durabil proprietățile pe care le-am folosit. Cele două proprietăți importante pe care le-am folosit au fost:

1. Pentru ca un polinom $f$ să fie divizibil cu $X-a$ trebuie ca restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ să fie nul.
2. Restul împărțirii unui polinom la $X-a$ este $f(a)$.

Din cele două proprietăți rezultă că un polinom $f$ se divide cu $X-a$ dacă $f(a)=0$. Acest rezultat se numește teorema lui Bézout. Așadar, pentru rezolvarea problemei, elevul trebuia să cunoască teorema lui Bézout.